Komplexe Zahlen

Aufgaben

3.1

Es sei $z_{1}=2+{\mathrm{i}}$, $z_{2}=1+3{\mathrm{i}}$. Berechnen Sie die kartesische Form der folgenden Ausdrücke:

a) $z_{1}+z_{2}$

b) $z_{1}-z_{2}$

c) $z_{1}\cdot z_{2}$

d) $\displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}}$

e) $\displaystyle\frac{z_{2}}{z_{1}}$

f) $\overline{z_{2}}\cdot z_{1}$

g) $z_{2}\cdot\overline{z_{2}}$

3.2

Lösen Sie die Gleichung und berechnen Sie die kartesische Form der Lösung:

a) $\displaystyle\frac{2+z}{4{\mathrm{i}}}=7{\mathrm{i}}$

b) $\displaystyle\frac{1}{z}+\frac{1}{{\mathrm{i}}}=3$

c) $\displaystyle\frac{3z}{4z+2}=4{\mathrm{i}}$

d) $\displaystyle z+2\overline{z}=25+3{\mathrm{i}}$

3.3

Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil von:

a) $\displaystyle z_{1}=\frac{4-3{\mathrm{i}}}{1+{\mathrm{i}}}$

b) $z_{2}=(1+{\mathrm{i}})\cdot(3-{\mathrm{i}})$

c) $\displaystyle z_{3}=\sqrt{2}\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)-{\mathrm{i}}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$

d) $\displaystyle z_{4}=\frac{2{\mathrm{e}}^{\frac{\pi}{4}{\mathrm{i}}}}{1+{\mathrm{i}}}$

3.4

• a) Es sei $z_{1}=2+3{\mathrm{i}}$, $z_{2}=-2-4{\mathrm{i}}$ und $z_{3}=-7$. Berechnen Sie die Exponentialform von $z_{1},z_{2}$ und z ₃.

• b) Es sei $z_{1}=2\cdot{\mathrm{e}}^{\frac{\pi}{4}{\mathrm{i}}}$, $z_{2}=5\cdot{\mathrm{e}}^{\frac{3\pi}{4}{\mathrm{i}}}$. Berechnen Sie

  $$z_{1}\cdot z_{2},\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{z_{1}}{z_{2}},\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \frac{z_{2}}{z_{1}},\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ z_{1}^{3},\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ z_{2}^{7}.$$

3.5

Finden Sie $x\in\mathbb{R}$ und $y\in\mathbb{R}$, sodass $(x+y{\mathrm{i}})^{2}=3+4{\mathrm{i}}$ erfüllt ist.

3.6

Die Admittanz einer Schaltung ist gegeben durch

$$\underline{Y}=\frac{1}{R+{\mathrm{i}}\omega L}+{\mathrm{i}}\omega C.$$

Wie lautet der Imaginärteil von $\underline{Y}$, und für welche Werte von ω ist $\operatorname{Im}(\underline{Y})=0$?

3.7

Stellen Sie die reelle Schwingung

$$x(t)=A\cdot{\mathrm{e}}^{\delta_{0}\cdot t}\cdot\sin(\omega_{0}\cdot t)$$

mithilfe der Funktionen $y_{1}(t)={\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\omega_{0}t}$ und $y_{2}(t)={\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\omega_{0}t}$ dar.

3.8

• a) Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil der komplexen Zahlen

  $$z_{1}=(1-{\mathrm{i}})^{12},\quad z_{2}=\frac{{\mathrm{i}}^{5}-1}{|{\mathrm{i}}-1|}.$$

• b) Für welche Punkte der Gaußschen Zahlenebene $z=x+{\mathrm{i}}y$ gilt

  $$\operatorname{Im}(z^{2})> \operatorname{Im}(z)?$$

3.9

Gegeben ist die komplexe Zahl

$$z(c)=\frac{1+{\mathrm{i}}}{c-{\mathrm{i}}}$$

in Abhängigkeit von $c\in\mathbb{R}$.

• a) Für welche $c\in\mathbb{R}$ ist z(c) reell, für welche $c\in\mathbb{R}$ ist z(c) rein imaginär?

• b) Berechnen Sie die Zahl $\left(z(0)\right)^{11}$. Geben Sie das Ergebnis in Polarform und in kartesischer Form an.

• c) Berechnen Sie alle Lösungen $w\in\mathbb{C}$ der Gleichung $w^{3}=z(0)$.

3.10

• a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl

  $$z_{1}=\frac{1+\frac{1}{{\mathrm{i}}}}{1+\frac{1}{{\mathrm{i}}^{3}}},\quad z_{2}=\frac{(1+2{\mathrm{i}})\cdot(2+{\mathrm{i}})}{(2-{\mathrm{i}})^{2}}.$$

• b) Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung

  $$z^{6}-4z^{3}+8=0.$$

  Die Angabe der Lösungen in Polardarstellung ist ausreichend.