Funktionen

Aufgaben

2.1

Während der Heizperiode von 120 Tagen braucht ein Gebäude 35 l Heizöl pro Tag. Das Heizöl kostet 80 ct pro Liter.

• a) Wie lautet die Funktion f ₁, die der Anzahl der Tage, an denen geheizt wird, die verbrauchte Menge Heizöl zuordnet?

• b) Wie lautet die Funktion f ₂, die der verbrauchten Menge an Heizöl (in Litern) die Kosten für den Hausbesitzer zuordnet?

• c) Bilden Sie die Verkettung $g(x):=f_{2}(f_{1}(x))$. Was beschreibt diese Funktion anschaulich?

2.2

Gegeben sind die Funktionen

$$y=g(x)=\frac{1+x}{1-2x}\text{ mit }D(g)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{1}{2}\right\}$$

und

$$y=f(x)=x^{2}+4\text{ mit }D(f)=\mathbb{R}\text{ und }W(f)=[4,\infty).$$

Bilden Sie die Verkettung $h(x):=g(f(x))$. Geben Sie Definitionsbereich und Wertebereich von h(x) an.

2.3

• a) Skizzieren Sie die Funktion $y=f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+1$ für $x\in[-1,1]$ und erklären Sie, wie sich der Graph von f aus der Normalparabel $y=x^{2}$ ergibt.

• b) Skizzieren Sie die Funktion $y=f(x)=2\sqrt{x+1}$ für $x\in[-1,1]$ und erklären Sie, wie sich der Graph von f aus der Wurzelfunktion ergibt.

2.4

Überprüfen Sie, ob die Funktionen in ihrem Definitionsbereich gerade oder ungerade sind:

• a) $f(x)=2x^{2}+3x^{4}$

• b) $f(x)=\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$

• c) $f(x)=x^{7}-x^{3}$

• d) $f(x)=1+3x^{2}$

2.5

• a) Zerlegen Sie das Polynom $P_{3}(x)=x^{3}-3x^{2}+2x$ in Linearfaktoren.

• b) Zerlegen Sie das Polynom $P_{4}(x)=x^{4}+x^{2}-2$ in lineare und quadratische Faktoren.

• c) Zerlegen Sie das Polynom $P_{4}(x)=x^{4}-1$ so weit wie möglich in Faktoren.

2.6

Untersuchen Sie das Verhalten der rationalen Funktionen an ihren kritischen Stellen:

• a) $\displaystyle R(x)=\frac{x-4}{x\cdot(x-2)}$

• b) $\displaystyle R(x)=\frac{1}{2}\frac{x+3}{x^{2}+2x}$

2.7

Man bestimme die Parameter a und b so, dass die rationale Funktion

$$R(x)=\frac{b\cdot x^{2}-4}{x^{2}-a}$$

bei $x_{0}=1$ eine Nullstelle und $x_{1}=2$ einen Pol hat.

2.8

Zeigen Sie:

• a) $\cos(2x)=1-2\sin^{2}(x)$

• b) $\cos(3x)=4\cos^{3}(x)-3\cos(x)$

2.9

Bestimmen Sie Amplitude, Periode, Verschiebung (Nulldurchgang) und Phase von:

• a) $y=f(x)=3\sin(4x-2)$

• b) $y=f(x)=\sin(x)\cdot\cos(x)$

2.10

• a) Zeigen Sie die Identität

  $$\cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)=1.$$

• b) Zeigen Sie das Additionstheorem für den Hyperbelsinus

  $$\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)=\sinh(x+y).$$

2.11

Zeigen Sie: Die Umkehrfunktion von $y(x)=\sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ist

$$y(x)=\text{arsinh}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right).$$

2.12

Schreiben Sie die Funktion $y=f(x)=|x+3|-|x-2|$ als stückweise erklärte Funktion und erstellen Sie eine Skizze der Funktion.

2.13

Bestimmen Sie die Lösungsmenge von:

• a) $\displaystyle y(t)={\mathrm{e}}^{-\frac{t}{2}}\cdot\sin(2t)=0$

• b) $\displaystyle\sin^{2}(x)-2\sin(x)-1=0$

• c) $\displaystyle\sin(x)+2\cos(x)=1$

2.14

Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von:

• a) $\displaystyle R_{1}(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-2x+1}$

• b) $\displaystyle R_{2}(x)=\frac{4x+4}{x^{2}-4}$

• c) $\displaystyle R_{3}(x)=\frac{x^{2}+1}{(x-1)\cdot(x-3)^{2}}$