Induktive Statistik – Rückschlüsse von einer Stichprobe auf die Allgemeinheit ziehen

Aufgaben

18.1

Die Zufallsvariablen $X_{1},\ldots,X_{5}$ seien unabhängig. Weiter soll angenommen werden, dass sie dieselbe Verteilung haben und dass $\text{E}[X_{i}]=\mu$ und $\text{Var}(X_{i})=\sigma^{2}$ für $i=1,\ldots,5$ gilt. Welche der folgenden Schätzfunktionen

• a) sind erwartungstreu für μ?

• b) ist unter den erwartungstreuen diejenige mit der kleinsten Varianz?

• $A=X_{1}+\frac{3}{5}X_{2}-\frac{1}{5}X_{3}-\frac{1}{5}X_{4}-\frac{1}{5}X_{5}$

• $B=\frac{1}{5}X_{1}+\frac{1}{5}X_{2}+\frac{2}{5}X_{3}+\frac{3}{7}X_{4}+\frac{1}{8}X_{5}$

• $C=\frac{1}{2}\left(X_{1}+X_{2}\right)$

• $D=1+\frac{1}{5}\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}\right)$

• $E=\frac{1}{5}\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}\right)$

18.2

Ein Autohersteller produziert Luxusautos. Der Verkaufsleiter hat für die letzten 24 Monate notiert, wie viele Autos in jedem Monat verkauft wurden. Diese Zahlen sind in der nachfolgenden Tabelle angegeben:

$$\begin{array}[]{l|c|c|c|c|c|c|c|c}\text{Anzahl }k\text{ der in einem}&0&1&2&3&4&5&6&\geq 7\\ \text{Monat verkauften Autos}&&&&&&&&\\ \hline\text{Anzahl der Monate mit }k&2&5&6&5&3&2&1&0\\ \text{verkauften Autos}&&&&&&&&\end{array}$$

• a) Die Ereignisse, 6, 7 oder mehr Luxusautos in einem Monat zu verkaufen, sind offensichtlich sehr selten. Welche der Ihnen bekannten Verteilungen können Sie dem Verkaufsleiter zur Modellierung für das Auftreten seltener Ereignisse vorschlagen?

• b) Die in a) bestimmte Verteilung hängt nur von einem Parameter ab. Schätzen Sie diesen Parameter mithilfe der Maximum-Likelihood-Methode für das hier angegebene Beispiel.

• c) Bestimmen Sie die relativen Häufigkeiten für den Verkauf von $0,1,2,\ldots,6$ Autos in einem Monat.

• d) Berechnen Sie für die in a) bestimmte Verteilung unter Verwendung des in b) ermittelten Parameters die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $0,1,2,\ldots,6$ Autos in einem Monat zu verkaufen.

• e) Vergleichen Sie die relativen Häufigkeiten aus c) mit den in d) bestimmten Wahrscheinlichkeiten.

18.3

Die Zufallsvariable X sei $\mathcal{N}$ (μ;2)-verteilt, wobei μ unbekannt ist. Eine Stichprobe vom Umfang 100 ergab einen Mittelwert von 4.5. Bestimmen Sie ein (zweiseitiges) Intervall, welches den gesuchten Erwartungswert μ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.9 enthält.

18.4

Für das Produkt A stehe eine neue Produktionsmethode zur Verfügung. Es kann angenommen werden, dass die Produktionsdauer X $\mathcal{N}$($\mu;\sigma^{2}$)-verteilt ist, wobei μ und σ unbekannt sind. Eine Stichprobe vom Umfang 10 brachte das folgende Ergebnis, wobei die jeweilige Produktionsdauer in Minuten notiert ist:

$$\begin{array}[]{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}i&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline x_{i}&55&45&50&54&56&58&52&49&61&60\\ \end{array}$$

• a) Bestimmen Sie zum Konfidenzniveau 0.95 ein zweiseitiges Konfidenzintervall für μ.

• b) Bestimmen Sie zum Konfidenzniveau 0.95 ein zweiseitiges Konfidenzintervall für σ.

18.5

Eine Krankenversicherung hat zur Berechnung eines Tarifs 1000 zufällig ausgewählte Versicherte befragt, wie viele Tage X im Jahr sie Ski fahren. Die Auswertung der Befragung ergab

$$\overline{x}_{n}=4.5\text{ und }s_{n}=3.2.$$

Bestimmen Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall für μ zum Konfidenzniveau 0.95.

18.6

Ein Vertrag über die Lieferung von Ravioli in 750-ml-Dosen sieht vor, dass der Abnehmer einen Preisnachlass fordern darf, wenn er (bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit $\alpha=5\,\%$) nachweist, dass der zu erwartende Doseninhalt μ kleiner als 750 ml ist. Er entnimmt dazu der Lieferung unabhängig und zufällig n = 25 Dosen und bestimmt den jeweiligen Inhalt [in ml]:

$$\begin{array}[]{ccccc}748&753&741&761&759\\ 756&749&737&749&755\\ 744&742&755&751&743\\ 753&758&748&757&735\\ 743&742&759&741&742\end{array}$$

Der Doseninhalt sei eine ${\mathcal{N}}(\mu;4)$-verteilte Zufallsgröße.

• a) Wie ist die Fragestellung als statistisches Testproblem zu formulieren?

• b) Welches Ergebnis resultiert aus dem zugehörigen statistischen Test? Darf der Abnehmer einen Preisnachlass fordern?

• c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verzichtet der Abnehmer aufgrund der in b) benutzten Testvorschrift irrtümlich (beim Stichprobenumfang n = 25) auf den vertragsmäßig vereinbarten Rabatt, falls der zu erwartende Doseninhalt gleich 748 ml ist? Welche Wahrscheinlichkeit ist damit im Sinne der Testtheorie gemeint?

• d) Wie groß muss n gewählt werden, damit die in c) genannte Wahrscheinlichkeit höchstens 10 % beträgt?

• e) Welche Testvorschrift müsste der Ravioliproduzent benutzen, wenn er (bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 5 %) nachweisen will, dass der zu erwartende Doseninhalt μ tatsächlich größer als 750 ml ist?

18.7

Ein Unternehmen hatte in einer Mitteilung vor dem Börsengang bekannt gegeben, dass die durchschnittliche Produktionsdauer für das Gut A weniger als 12 Stunden betrage. Von der Produktionsdauer kann angenommen werden, dass sie normalverteilt ist. Eine überprüfung vom Umfang 25 ergab nun ein Stichprobenmittel von 11.5 Stunden und eine Stichprobenstandardabweichung von 3 Stunden.

Muss das Unternehmen die Hypothese, dass die durchschnittliche Produktionsdauer weniger als 12 h beträgt, aufgrund der Stichprobe bei einem Signifikanzniveau von 0.01 revidieren?

18.8

Als Portfoliomanager investieren Sie in die Aktien A und B. Für diese beiden Papiere werden folgende Stichproben von Schlusskursen (in Euro) notiert:

$$\begin{array}[]{l|l|l|l|l|l|l}\text{Zeitpkt.}&1&2&3&4&5&6\\ \hline\text{Aktie }A&12.10&12.50&10.50&10.30&11.60&\text{k.\,A.}\\ \text{Aktie }B&14.30&16.00&16.50&16.40&15.30&14.50\\ \end{array}$$

Es wird (hier) unterstellt, dass die Schlusskurse für den beobachteten Zeitraum normalverteilt und stochastisch unabhängig sind.

Für das Risikocontrolling Ihres Arbeitgebers ist es wichtig, das „Risiko“ von Aktien zu messen. Als Maß für das Risiko einer Aktie werde vereinfachend die Standardabweichung der Schlusskurse herangezogen.

• a) Testen Sie die Nullhypothese „Das Risikomaß der Aktie A ist gleich 0.60 Euro“ (Irrtumswahrscheinlichkeit 5 %).

• b) Können Sie die Vermutung, dass die Aktie A risikoreicher ist als die Aktie B, durch einen Test zum Niveau 1 % statistisch untermauern?

18.9

Ein Hersteller von Kühlschränken bietet fünf verschiedene Modelle an. Die Firma geht davon aus, dass 30 % der verkauften Kühlschränke vom Typ 1, 35 % vom Typ 2, 15 % vom Typ 3, 10 % vom Typ 4 und 10 % vom Typ 5 sind. Von 500 zufällig ausgewählten Käufern eines Kühlschrankes dieses Herstellers haben 120 den Kühlschrank vom Typ 1, 135 den vom Typ 2, 120 den vom Typ 3, 65 den vom Typ 4 und 60 den vom Typ 5 gekauft.

Formulieren Sie Hypothese und Alternative. Kann man die Hypothese H ₀ zum Signifikanzniveau 0.01 verwerfen?

18.10

Ein Unternehmen möchte überprüfen, ob die Lebensdauer eines von ihm produzierten Elektronikbauteils exponential mit Parameter λ = 0.25 verteilt ist. Eine Stichprobe vom Umfang 30 ergab folgende Werte:

$$\begin{array}[]{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}i&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline x_{i}&3&4&2.5&5&8&3&5&4.5&5.8\\ \hline\hline i&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\ \hline x_{i}&4&2.5&7&1.5&2.5&6&3.5&4&5.5\\ \hline\hline i&19&20&21&22&23&24&25&26&27\\ \hline x_{i}&5&10&3&5&4.5&8&4&1.5&5\\ \hline\hline i&28&29&30\\ \hline x_{i}&4&2&6\\ \end{array}$$

Überprüfen Sie die Hypothese zum Signifikanzniveau 0.05. Verwenden Sie folgende Intervalleinteilung: $A_{1}=[0;1],A_{2}=(1;3],A_{3}=(3;5]$ und $A_{4}=(5;\infty)$.

18.11

X sei die Zeitdauer für die Abfertigung eines Kunden an der Kasse eines Supermarktes. Es wurde eine Stichprobe vom Umfang 50 entnommen, um zu überprüfen, ob X eine Exponentialverteilung besitzt, dabei lagen die Abfertigungszeiten (in Sekunden) mit folgenden Häufigkeiten n _i im Intervall A _i :

$$\begin{array}[]{c|c|c}i&I_{i}&n_{i}\\ \hline 1&[0;15]&2\\ 2&(15;30]&7\\ 3&(30;45]&7\\ 4&(45;60]&10\\ 5&(60;90]&12\\ 6&(90;120]&6\\ 7&(120;180]&4\\ 8&(180;\infty)&2\\ \end{array}$$

Das Stichprobenmittel betrug 54. Testen Sie die Behauptung zum Niveau α = 0.05.