Eigenwerte und Normalformen

Aufgaben

14.1

Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrizen

$$A=\left(\begin{matrix}{}2&-4\\ -3&6\end{matrix}\right),\quad B=\left(\begin{matrix}{}0&1\\ -2&3\end{matrix}\right)\,.$$

14.2

Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrizen

$$A=\left(\begin{matrix}{}4&1\\ 2&2\end{matrix}\right),\quad B=\left(\begin{matrix}{}3&2\\ 2&-2\end{matrix}\right)\,.$$

14.3

Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

$$A=\left(\begin{matrix}{}1&0&1\\ 2&2&1\\ 4&2&1\end{matrix}\right)\,.$$

14.4

Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

$$A=\left(\begin{matrix}{}0&1&0\\ 2&1&0\\ -1&0&1\end{matrix}\right)\,.$$

14.5

Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix

$$A=\left(\begin{matrix}{}\cos(\alpha)&\sin(\alpha)\\ -\sin(\alpha)&\cos(\alpha)\end{matrix}\right)\,.$$

Für welche Werte von α hat diese Matrix (reelle) Eigenwerte?

14.6

Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix

$$A=\left(\begin{matrix}{}\cos(\alpha)&\sin(\alpha)\\ \sin(\alpha)&-\cos(\alpha)\end{matrix}\right)\,.$$

Für welche Werte von α hat diese Matrix (reelle) Eigenwerte?

14.7

Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrizen

$$A=\left(\begin{matrix}{}2&3\\ -3&2\end{matrix}\right),\quad B=\left(\begin{matrix}{}2&1\\ -5&6\end{matrix}\right)\,.$$

14.8

Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrizen

$$A=\left(\begin{matrix}{}1&2{\mathrm{i}}\\ -2{\mathrm{i}}&1\end{matrix}\right),\quad B=\left(\begin{matrix}{}{\mathrm{i}}&-1\\ 4&{\mathrm{i}}\end{matrix}\right)\,.$$

14.9

Wir betrachten die Matrizen

$$A_{a,b}=\left(\begin{matrix}{}a&-b\\ b&a\end{matrix}\right)$$

mit reellen Zahlen a,b. Bestimmen Sie die (komplexen) Eigenwerte und Eigenvektoren von A _a,b (in Abhängigkeit von a,b).

14.10

Wir betrachten eine n × n-Matrix A, (paarweise verschiedene) Eigenwerte $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{m}$ von A und zu jedem λ _i einen Eigenvektor v _i . Zeigen Sie, dass die Vektoren $\boldsymbol{v}_{1},\ldots,\boldsymbol{v}_{m}$ linear unabhängig sind.

14.11

Untersuchen Sie die Matrizen

$$A_{1}=\left(\begin{matrix}{}2&1\\ 1&2\end{matrix}\right),\quad A_{2}=\left(\begin{matrix}{}1&1\\ -2&4\end{matrix}\right)$$

auf Diagonalisierbarkeit. Bestimmen Sie ggf. Transformationsmatrizen S _i , sodass $S_{i}^{-1}\cdot A\cdot S_{i}$ Diagonalgestalt hat.

14.12

Untersuchen Sie die Matrizen

$$A_{1}=\left(\begin{matrix}{}3&1\\ -1&1\end{matrix}\right),\quad A_{2}=\left(\begin{matrix}{}6&-2\\ 1&2\end{matrix}\right)$$

auf Diagonalisierbarkeit. Bestimmen Sie ggf. Transformationsmatrizen S _i , sodass $S_{i}^{-1}\cdot A\cdot S_{i}$ Diagonalgestalt hat.

14.13

Untersuchen Sie die Matrizen

$$A_{1}=\left(\begin{matrix}{}3&-2\\ 2&3\end{matrix}\right),\quad A_{2}=\left(\begin{matrix}{}-3&-2\\ 5&-1\end{matrix}\right)$$

auf Diagonalisierbarkeit. Bestimmen Sie ggf. Transformationsmatrizen S _i , sodass $S_{i}^{-1}\cdot A\cdot S_{i}$ Diagonalgestalt hat.

14.14

Untersuchen Sie die Matrizen

$$A_{1}=\left(\begin{matrix}{}3&2\\ 2&-2\end{matrix}\right),\quad A_{2}=\left(\begin{matrix}{}1&2\\ 3&2\end{matrix}\right)$$

auf Diagonalisierbarkeit. Bestimmen Sie ggf. Transformationsmatrizen S _i , sodass $S_{i}^{-1}\cdot A_{i}\cdot S_{i}$ Diagonalgestalt hat (i = 1,2).

14.15

Untersuchen Sie die Matrizen

$$A_{1}=\left(\begin{matrix}{}-2&3\\ -3&-2\end{matrix}\right),\quad A_{2}=\left(\begin{matrix}{}2&1\\ -2&2\end{matrix}\right)$$

auf Diagonalisierbarkeit. Bestimmen Sie ggf. Transformationsmatrizen S _i , sodass $S_{i}^{-1}\cdot A_{i}\cdot S_{i}$ Diagonalgestalt hat (i = 1,2).

14.16

Untersuchen Sie die Matrix

$$A=\frac{1}{15}\left(\begin{matrix}{}10&5&10\\ 5&-14&2\\ 10&2&-11\end{matrix}\right)$$

auf Diagonalisierbarkeit. Bestimmen Sie ggf. eine Transformationsmatrix S, sodass $S^{-1}\cdot A\cdot S$ Diagonalgestalt hat.

14.17

Untersuchen Sie die Matrizen

$$A_{1}=\left(\begin{matrix}{}-1&2&2\\ 2&2&2\\ -3&-6&-6\end{matrix}\right),\quad A_{2}=\left(\begin{matrix}{}5&-6&-6\\ -1&4&2\\ 3&-6&-4\end{matrix}\right)$$

auf Diagonalisierbarkeit. Bestimmen Sie ggf. eine Transformationsmatrizen S _i , sodass $S_{i}^{-1}\cdot A_{i}\cdot S_{i}$ Diagonalgestalt hat (i = 1,2).

14.18

Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrizen

$$A_{1}=\left(\begin{matrix}{}-2&6&0\\ -2&5&0\\ 1&-1&1\end{matrix}\right),\qquad A_{2}=\left(\begin{matrix}{}-1&-2&-1\\ 6&5&0\\ 0&-2&-2\end{matrix}\right)$$

und untersuchen Sie, ob sie diagonalisierbar sind. Bestimmen Sie ggf. Transformationsmatrizen S _i , sodass $S_{i}^{-1}\cdot A_{i}\cdot S_{i}$ Diagonalgestalt hat (i = 1,2).

14.19

Wir betrachten die symmetrischen Matrizen

$$A_{1}=\left(\begin{matrix}{}2&3\\ 3&2\end{matrix}\right),\quad A_{2}=\left(\begin{matrix}{}10&5&10\\ 5&-14&2\\ 10&2&-11\end{matrix}\right)\,.$$

Bestimmen Sie orthogonale Matrizen S _i , sodass $S_{i}^{\top}\cdot A_{i}\cdot S_{i}$ Diagonalgestalt hat (i = 1,2).

14.20

Bestimmen Sie (in Abhängigkeit von a) orthogonale Matrizen S _i (i = 1,2), die die symmetrischen Matrizen

$$A_{1}=\left(\begin{matrix}{}a&1\\ 1&a\end{matrix}\right),\quad A_{2}=\left(\begin{matrix}{}1&a\\ a&1\end{matrix}\right)$$

diagonalisieren.

14.21

Wir betrachten die Matrizen

$$A_{a,b}=\left(\begin{matrix}{}a&-b\\ b&a\end{matrix}\right)$$

mit reellen Zahlen a,b (vgl. Aufgabe 14.9). Bestimmen Sie (in Abhängigkeit von a,b) eine Transformationsmatrix $S=S_{a,b}$, sodass $S^{-1}\cdot A\cdot S$ Diagonalgestalt hat.

14.22

Bestimmen Sie eine Transformationsmatrix S, die die Matrix

$$A=\left(\begin{matrix}{}-56&-102&-78\\ 39&71&54\\ -7&-13&-10\end{matrix}\right)$$

trigonalisiert.

14.23

Bestimmen Sie eine Transformationsmatrix S, die die Matrix

$$A=\left(\begin{matrix}{}3&-1&1\\ 4&0&2\\ 3&-1&3\end{matrix}\right)$$

trigonalisiert.

14.24

Bestimmen Sie eine Transformationsmatrix S, die die Matrix

$$A=\left(\begin{matrix}{}-6&16&-11\\ -3&9&-7\\ -1&4&-4\end{matrix}\right)$$

in jordansche Normalform bringt.

14.25

Bestimmen Sie n × n-Matrizen A, B, für die gilt

$${\mathrm{e}}^{A+B}\neq{\mathrm{e}}^{A}\cdot{\mathrm{e}}^{B}\,.$$

14.26

Bestimmen Sie eine QR-Zerlegung der Matrix

$$A=\left(\begin{matrix}{}1&1&1\\ 1&2&3\end{matrix}\right)\,.$$

14.27

Bestimmen Sie eine QR-Zerlegung der Matrix

$$A=\left(\begin{matrix}{}1&-4&2\\ 1&1&-4\\ 1&1&0\\ 1&-4&-2\end{matrix}\right)\,.$$

14.28

Bestimmen Sie eine Singulärwertzerlegung der Matrix

$$A=\left(\begin{matrix}{}1&2&1\\ 1&-1&2\end{matrix}\right)\,.$$

14.29

Bestimmen Sie eine Singulärwertzerlegung der Matrix

$$A=\left(\begin{matrix}{}1&1&1\\ 1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&0\end{matrix}\right)$$

und bestimmen Sie die Pseudoinverse $A^{+}$ von A.