Matrizen und lineare Gleichungssysteme

Aufgaben

12.1

Bestimmen Sie alle Lösungen des linearen Gleichungssystems

$$\begin{array}[]{r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} l}x_{1}\;&+\;&2x_{2}\;&+\;&3x_{3}\;&+\;&x_{4}\;&=\;&0\\ 2x_{1}\;&+\;&x_{2}\;&+\;&3x_{3}\;&-\;&x_{4}\;&=\;&0\\ 3x_{1}\;&\;&\;&+\;&x_{3}\;&+\;&x_{4}\;&=\;&0\,.\end{array}$$

12.2

Bestimmen Sie alle Lösungen des linearen Gleichungssystems

$$\begin{array}[]{r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} l}3x_{1}\;&+\;&2x_{2}\;&+\;&x_{3}\;&-\;&x_{4}\;&=\;&0\\ 2x_{1}\;&+\;&2x_{2}\;&+\;&3x_{3}\;&-\;&2x_{4}\;&=\;&0\\ x_{1}\;&+\;&3x_{2}\;&-\;&x_{3}\;&+\;&x_{4}\;&=\;&0\,.\end{array}$$

12.3

Überprüfen Sie, ob das lineare Gleichungssystems

$$\begin{array}[]{r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} l}x_{1}\;&+\;&2x_{2}\;&-\;&x_{3}\;&+\;&x_{4}\;&=\;&1\\ 2x_{1}\;&\;&\;&+\;&3x_{3}\;&-\;&2x_{4}\;&=\;&3\\ x_{1}\;&+\;&3x_{2}\;&\;&\;&+\;&x_{4}\;&=\;&2\end{array}$$

Lösungen hat, und bestimmen Sie diese gegebenenfalls.

12.4

Überprüfen Sie, ob das lineare Gleichungssystems

$$\begin{array}[]{r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} l}x_{1}\;&+\;&2x_{2}\;&-\;&x_{3}\;&=\;&2\\ 2x_{1}\;&\;&\;&+\;&3x_{3}\;&=\;&0\\ x_{1}\;&+\;&2x_{2}\;&+\;&x_{3}\;&=\;&1\end{array}$$

Lösungen hat, und bestimmen Sie diese gegebenenfalls.

12.5

Bestimmen Sie alle Zahlen $c\in\mathbb{R}$, für die das Gleichungssystem

$$\begin{array}[]{r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} l}x_{1}\;&+\;&x_{2}\;&-\;&x_{3}\;&+\;&x_{4}\;&=\;&2\\ 2x_{1}\;&+\;&2x_{2}\;&-\;&x_{3}\;&-\;&x_{4}\;&=\;&1\\ -x_{1}\;&+\;&x_{2}\;&-\;&x_{3}\;&+\;&x_{4}\;&=\;&2\\ x_{1}\;&+\;&3x_{2}\;&+\;&c\cdot x_{3}\;&+\;&c\cdot x_{4}\;&=\;&1\end{array}$$

eine Lösung hat, und bestimmen Sie in diesem Fall die Lösungen in Abhängigkeit von c.

12.6

Bestimmen Sie alle Zahlen $a\in\mathbb{R}$, für die das Gleichungssystem

$$\begin{array}[]{r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} l}x_{1}\;&+\;&x_{2}\;&-\;&x_{3}\;&+\;&x_{4}\;&=\;&1\\ 2x_{1}\;&+\;&3x_{2}\;&\;&\;&-\;&3x_{4}\;&=\;&-1\\ x_{1}\;&+\;&2x_{2}\;&+\;&(a+1)\cdot x_{3}\;&+\;&3a\cdot x_{4}\;&=\;&1\\ -x_{1}\;&-\;&4x_{2}\;&+\;&(a-5)\cdot x_{3}\;&+\;&(4a+8)\cdot x_{4}\;&=\;&4\end{array}$$

eine Lösung hat, und bestimmen Sie in diesem Fall die Lösungen in Abhängigkeit von a.

12.7

Bestimmen Sie die transponierten Matrizen von

$$A=\left(\begin{array}[]{ l l l }1&2&3\\ 2&3&2\\ 3&1&4\end{array}\right),\qquad B=\left(\begin{array}[]{ l l l }3&1&\pi\\ 1&\sqrt{2}&2\\ \pi&2&4\end{array}\right)\,.$$

Sind A oder B symmetrisch?

12.8

Bestimmen Sie die transponierten Matrizen von

$$A=\left(\begin{matrix}{}1&2&3&4\\ 4&3&2&5\\ 3&-3&4&-4\end{matrix}\right),\quad B=\left(\begin{matrix}{}1&2\\ 3&4\\ 4&3\\ 1&1\end{matrix}\right)\,.\quad$$

12.9

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

$$\begin{array}[]{r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} l}\;&\;&x_{2}\;&+\;&x_{3}\;&+\;&x_{4}\;&=\;&5\\ 2x_{1}\;&+\;&x_{2}\;&+\;&2x_{3}\;&+\;&3x_{4}\;&=\;&3\\ 3x_{1}\;&-\;&x_{2}\;&+\;&x_{3}\;&-\;&2x_{4}\;&=\;&1\\ x_{1}\;&-\;&x_{2}\;&-\;&x_{3}\;&+\;&4x_{4}\;&=\;&3\,.\end{array}$$

Bestimmen Sie die Koeffizientenmatrix und die augmentierte Matrix dieses Gleichungssystems, überprüfen Sie, ob es Lösungen hat, und bestimmen Sie diese gegebenenfalls.

12.10

Wir betrachten das lineare Gleichungssystems

$$\begin{array}[]{r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} l}-x_{1}\;&+\;&x_{2}\;&+\;&2x_{3}\;&+\;&x_{4}\;&=\;&1\\ x_{1}\;&+\;&2x_{2}\;&+\;&2x_{3}\;&+\;&3x_{4}\;&=\;&2\\ 2x_{1}\;&-\;&x_{2}\;&+\;&3x_{3}\;&-\;&x_{4}\;&=\;&3\\ x_{1}\;&-\;&x_{2}\;&-\;&x_{3}\;&+\;&x_{4}\;&=\;&4\,.\end{array}$$

Bestimmen Sie die Koeffizientenmatrix und die augmentierte Matrix dieses Gleichungssystems, überprüfen Sie, ob es Lösungen hat, und bestimmen Sie diese gegebenenfalls.

12.11

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

$$\begin{array}[]{r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} l}2x_{1}\;&+\;&5x_{2}\;&+\;&9x_{3}\;&-\;&9x_{4}\;&+\;&11x_{5}\;&=\;&-9\\ x_{1}\;&+\;&2x_{2}\;&+\;&4x_{3}\;&-\;&4x_{4}\;&+\;&4x_{5}\;&=\;&-7\\ -x_{1}\;&-\;&4x_{2}\;&-\;&5x_{3}\;&+\;&4x_{4}\;&-\;&12x_{5}\;&=\;&5\\ -2x_{1}\;&-\;&5x_{2}\;&-\;&7x_{3}\;&+\;&6x_{4}\;&-\;&13x_{5}\;&=\;&8\,.\end{array}$$

Bestimmen Sie die Koeffizientenmatrix und die augmentierte Matrix dieses Gleichungssystems, bringen Sie die augmentierte Matrix auf reduzierte Zeilenstufenform, überprüfen Sie, ob das Gleichungssystem Lösungen hat, und bestimmen Sie diese gegebenenfalls.

12.12

Wir betrachten das lineare Gleichungssystems

$$\begin{array}[]{r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} l}{\mathrm{i}}\cdot x_{1}\;&+\;&(1+{\mathrm{i}})\cdot x_{2}\;&+\;&(1-{\mathrm{i}})\cdot x_{3}\;&=\;&2\\ 2\cdot x_{1}\;&\;&\;&+\;&3{\mathrm{i}}\cdot x_{3}\;&=\;&1+2{\mathrm{i}}\\ \;&\;&{\mathrm{i}}\cdot x_{2}\;&+\;&x_{3}\;&=\;&3{\mathrm{i}}\,.\\ \;\end{array}$$

Bestimmen Sie die Koeffizientenmatrix und die augmentierte Matrix dieses Gleichungssystems, überprüfen Sie, ob es Lösungen hat, und bestimmen Sie diese gegebenenfalls.

12.13

Bestimmen Sie alle Zahlen $a\in\mathbb{C}$, für die das Gleichungssystem

$$\begin{array}[]{r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} r@{\;} c@{\;} l}x_{1}\;&+\;&x_{2}\;&-\;&x_{3}\;&+\;&{\mathrm{i}}\cdot x_{4}\;&=\;&2\\ 2x_{1}\;&+\;&2x_{2}\;&-\;&x_{3}\;&-\;&x_{4}\;&=\;&{\mathrm{i}}\\ -x_{1}\;&+\;&x_{2}\;&-\;&x_{3}\;&+\;&{\mathrm{i}}\cdot x_{4}\;&=\;&2\\ x_{1}\;&+\;&3x_{2}\;&+\;&a\cdot x_{3}\;&+\;&a\cdot x_{4}\;&=\;&{\mathrm{i}}\end{array}$$

eine Lösung hat, und bestimmen Sie in diesem Fall die Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter a.

12.14

Wir betrachten die Matrizen

$$A=\left(\begin{matrix}{}1&2\\ 3&4\end{matrix}\right)\,,\qquad B=\left(\begin{matrix}{}2&3&1\\ 6&-4&-2\end{matrix}\right)\,.$$

Bestimmen Sie $A^{\top},B^{\top},A\cdot B$ und $B^{\top}\cdot A$.

12.15

Wir betrachten die Matrizen

$$A=\left(\begin{matrix}{}1&-1\\ 1&1\end{matrix}\right)\,,\qquad B=\left(\begin{matrix}{}2&-3\\ -3&2\end{matrix}\right)\,.$$

Bestimmen Sie $A^{\top}$, $B^{\top}$, A + B, A ⋅ B und B ⋅ A.

12.16

Wir betrachten die Matrizen

$$\begin{aligned}\displaystyle A&\displaystyle=\left(\begin{matrix}{}1+{\mathrm{i}}&1-2{\mathrm{i}}\\ 4&3{\mathrm{i}}\end{matrix}\right)\,,\\ \displaystyle B&\displaystyle=\left(\begin{matrix}{}3{\mathrm{i}}&2+{\mathrm{i}}&1\\ 5-{\mathrm{i}}&{\mathrm{i}}-4&-2-{\mathrm{i}}\end{matrix}\right)\,.\end{aligned}$$

Bestimmen Sie A ⋅ B und $B^{\top}\cdot A$.

12.17

Wir betrachten die Matrizen

$$\begin{aligned}\displaystyle A&\displaystyle=\left(\begin{matrix}{}1&2\\ 2&1\end{matrix}\right),\quad B=\left(\begin{matrix}{}1&-1&1\\ -2&3&-4\end{matrix}\right),\\ \displaystyle C&\displaystyle=\left(\begin{matrix}{}1&1\\ 2&1\\ 1&2\end{matrix}\right)\,.\end{aligned}$$

Berechnen Sie (falls der Ausdruck existiert):

• a) A ⋅ B

• b) B ⋅ A

• c) B ⋅ C

• d) $B^{\top}\cdot A$

• e) $B^{\top}+C$

12.18

Zeigen Sie: Entsteht die Matrix B aus der Matrix A durch Addition eines Vielfachen der ersten Zeile von A zur zweiten Zeile von A, so gilt

$${\mathrm{Rang}}(B)={\mathrm{Rang}}(A)\,.$$

Das ist ein Spezialfall der Aussage, dass sich der Rang einer Matrix bei Zeilen- und Spaltenoperationen nicht ändert.

12.19

Wir betrachten die Matrizen

$$A=\left(\begin{matrix}{}1&2&3\\ 2&3&4\\ 5&6&7\end{matrix}\right),\quad B=\left(\begin{matrix}{}1&2&3&4\\ 1&2&3&5\\ 1&2&6&7\end{matrix}\right)\,.$$

Bestimmen Sie ${\mathrm{Rang}}(A)$, ${\mathrm{Rang}}(B)$ und ${\mathrm{Nul}}(A)$, ${\mathrm{Nul}}(B)$.

12.20

Wir betrachten die Matrix

$$A=\left(\begin{matrix}{}1&2&3\\ 3&2&1\\ 2&0&-2\end{matrix}\right)\,.$$

Bestimmen Sie alle $\boldsymbol{b}\in\mathbb{R}^{3}$, für die das Gleichungssystem

$$A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$$

Lösungen hat.

12.21

Wir betrachten die Matrix

$$A=\left(\begin{matrix}{}1&2&3\\ 1&2&4\\ 1&2&2\\ 0&0&5\\ \end{matrix}\right)\,.$$

Bestimmen Sie eine Basis von ${\mathrm{Kern}}(A)$ und eine Basis von ${\mathrm{Bild}}(A)$.

12.22

Zeigen Sie: Ist A eine n × n-Matrix mit ${\mathrm{Nul}}(A)=0$, so hat das Gleichungssystem

$$A\cdot\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$$

für jedes $\boldsymbol{b}\in\mathbb{R}^{n}$ eine eindeutige Lösung.

12.23

Wir betrachten eine 3 × 3-Matrix A mit ${\mathrm{Rang}}(A)=2$, und wir nehmen an, dass die ersten beiden Zeilen $\boldsymbol{a}_{(1)}$ und $\boldsymbol{a}_{(2)}$ von A linear unabhängig sind. Zeigen Sie, dass der Vektor

$$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{a}_{(1)}\times\boldsymbol{a}_{(2)}$$

(das Vektorprodukt der Vektoren $\boldsymbol{a}_{(1)}$ und $\boldsymbol{a}_{(2)}$) eine Basis von ${\mathrm{Kern}}(A)$ ist.