Vektorräume und lineare Abbildungen

Aufgaben

11.1

Zeigen Sie, dass die Menge

$$V=\left\{\boldsymbol{v}=\left(\begin{matrix}{}v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\\ v_{4}\end{matrix}\right)\,|\,2v_{1}+3v_{2}-4v_{3}+v_{4}=0\right\}$$

ein Untervektorraum von $\mathbb{R}^{4}$ ist.

11.2

Zeigen Sie, dass die Menge

$$V=\left\{\boldsymbol{v}=\left(\begin{matrix}{}t\\ t^{2}\\ t^{3}\\ t^{4}\end{matrix}\right)\,|\,t\in\mathbb{R}\right\}$$

kein Untervektorraum von $\mathbb{R}^{4}$ ist.

11.3

Überprüfen Sie, ob die Menge

$$V=\left\{\boldsymbol{v}=\left(\begin{matrix}{}r\\ s\\ r+s\\ r-s\end{matrix}\right)\,|\,r,s\in\mathbb{R}\right\}$$

ein Untervektorraum von $\mathbb{R}^{4}$ ist.

11.4

Zeigen Sie, dass die Vektoren

$$\boldsymbol{v}_{1}=\left(\begin{matrix}{}1\\ 0\\ 2\\ 0\end{matrix}\right),\,\boldsymbol{v}_{2}=\left(\begin{matrix}{}0\\ 1\\ 0\\ 2\end{matrix}\right)\,\text{ und }\,\boldsymbol{v}_{3}=\left(\begin{matrix}{}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{matrix}\right)$$

linear unabhängig sind.

11.5

Zeigen Sie, dass die Vektoren

$$\boldsymbol{v}_{1}=\left(\begin{matrix}{}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{matrix}\right),\,\boldsymbol{v}_{2}=\left(\begin{matrix}{}4\\ 2\\ 0\\ 0\end{matrix}\right)\,\text{ und }\,\boldsymbol{v}_{3}=\left(\begin{matrix}{}3\\ 3\\ 3\\ 4\end{matrix}\right)$$

linear abhängig sind.

11.6

Zeigen Sie, dass die Vektoren

$$\boldsymbol{v}_{1}=\left(\begin{matrix}{}1\\ 0\\ 1\end{matrix}\right),\,\boldsymbol{v}_{2}=\left(\begin{matrix}{}0\\ 1\\ 1\end{matrix}\right)\,\text{ und }\boldsymbol{v}_{3}=\left(\begin{matrix}{}1\\ 1\\ 1\end{matrix}\right)$$

eine Basis von $\mathbb{R}^{3}$ bilden.

11.7

Wir betrachten die beiden Vektoren

$$\boldsymbol{v}_{1}=\left(\begin{matrix}{}2\\ -1\\ 0\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{v}_{2}=\left(\begin{matrix}{}-3\\ 0\\ 1\end{matrix}\right)\,.$$

Mit $\langle\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}\rangle$ bezeichnen wir den von v ₁ und v ₂ erzeugten Untervektorraum von $\mathbb{R}^{3}$. Zeigen Sie, dass

$$\langle\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}\rangle=\left\{\left(\begin{matrix}{}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{matrix}\right)\in\mathbb{R}^{n}\,|\,x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0\right\}\,.$$

Bilden v ₁ und v ₂ auch eine Basis dieses Untervektorraums?

11.8

Eine Basis von $\mathbb{R}^{3}$ ist

$$\boldsymbol{v}_{1}=\left(\begin{matrix}{}3\\ 4\\ 5\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{v}_{2}=\left(\begin{matrix}{}3\\ 5\\ 6\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{v}_{3}=\left(\begin{matrix}{}1\\ 2\\ 2\end{matrix}\right)\,.$$

Orthonormalisieren Sie diese Basis.

11.9

Zeigen Sie, dass

$$\boldsymbol{v}_{1}=\left(\begin{matrix}{}1\\ 2\\ 3\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{v}_{2}=\left(\begin{matrix}{}3\\ 2\\ 1\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{v}_{3}=\left(\begin{matrix}{}1\\ 0\\ 1\end{matrix}\right)$$

eine Basis von $\mathbb{R}^{3}$ ist und orthonormalisieren Sie diese Basis.

11.10

Zeigen Sie: Stehen zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren v und w senkrecht aufeinander, so sind sie linear unabhängig.

Verallgemeinern Sie diese Aussage auf n Vektoren, die paarweise orthogonal sind.

11.11

Wir betrachten den Untervektorraum $U\subset\mathbb{R}^{4}$, der erzeugt wird von den beiden Vektoren

$$\boldsymbol{v}_{1}=\left(\begin{matrix}{}1\\ 0\\ 1\\ 1\end{matrix}\right)\,\text{ und }\,\boldsymbol{v}_{2}=\left(\begin{matrix}{}1\\ 1\\ 1\\ 0\end{matrix}\right)\,.$$

Bestimmen Sie $U^{\perp}$.

11.12

Zeigen Sie: Ist $E\subset\mathbb{R}^{n}$ eine Ebene (durch $(0,\,0,\,0)$), so gilt für das orthogonale Komplement $E^{\perp}$,

$$E^{\perp}=\mathbb{R}\cdot\boldsymbol{n}_{E}\,,$$

wobei n _E ein (beliebiger) Normalenvektor von E ist.

11.13

Weisen Sie die Dimensionsformel für das orthogonale Komplement nach: Ist $U\subset\mathbb{R}^{n}$ ein Untervektorraum der Dimension l, so ist $U^{\perp}\subset\mathbb{R}^{n}$ ein Untervektorraum der Dimension n − l.

11.14

Wir betrachten die Menge $V=\mathrm{Abb}(I,\mathbb{R}^{n})$ der Abbbildungen

$$f:I\longrightarrow\mathbb{R}^{n}\,,$$

wobei I ein beliebiges Intervall ist (abgeschlossen, offen oder halboffen). Zeigen Sie, dass V ein Vektorraum wird, wenn man die Vektorraumoperationen komponenten- und punktweise (analog zum Beispiel des Vektorraumes $\textrm{Abb}([a,\,b],\mathbb{R})$) definiert.

11.15

Wir betrachten den Vektorraum $V=\mathrm{Abb}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ der Abbildungen

$$f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$$

(vgl. Aufgabe 11.14). Zeigen Sie, dass die Elemente $f,g\in V$ mit

$$f(x)=\cos(x),\quad g(x)=\sin(x)\,\text{ f{\"u}r alle }x\in\mathbb{R}$$

linear unabhängig sind.

11.16

Wir betrachten den Vektorraum $V=\mathrm{Abb}((0,\,\infty),\mathbb{R})$ der Abbildungen

$$f:(0,\,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}$$

(vgl. Aufgabe 11.14). Zeigen Sie, dass die Elemente $f,g\in V$ mit

$$f(x)=\exp(x),\quad g(x)=\ln(x)\,\text{ f{\"u}r alle }x\in(0,\infty)$$

linear unabhängig sind.

11.17

Wir betrachten den Vektorraum $V=\mathrm{Abb}((1,\,\infty),\mathbb{R})$ der Abbildungen

$$f:(1,\,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}$$

(vgl. Aufgabe 11.14). Zeigen Sie, dass die Elemente $f,g,h\in V$ mit

$$f(x)=\frac{1}{x+1},\quad g(x)=\frac{1}{x-1},\quad h(x)=\frac{x}{x^{2}-1}$$

für alle $x\in(1,\infty)$ linear abhängig sind.

11.18

Benutzen Sie den Satz von Steinitz (Abschn. 11.3), um folgende Aussage zu beweisen: Ist E ₁ parallel zu E ₂, so ist auch E ₂ parallel zu E ₁.

11.19

Zeigen Sie, dass die Menge U der zweimal differenzierbaren Funktionen $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$, die die Beziehung

$$f^{\prime\prime}+3f^{\prime}+2f=0$$

erfüllen, ein Untervektorraum von $\mathrm{Abb}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ ist.