Analytische Geometrie

Aufgaben

10.1

Bestimmen Sie den Winkel α zwischen den beiden Vektoren $\boldsymbol{v}=\left(\begin{matrix}{}3\\ 1\\ 2\end{matrix}\right)$ und $\boldsymbol{w}=\left(\begin{matrix}{}1\\ -3\\ 5\end{matrix}\right)$.

10.2

Bestimmen Sie die Richtungswinkel der Vektoren

$$\boldsymbol{v}=\left(\begin{matrix}{}3\\ -3\\ 3\end{matrix}\right)\quad\text{ und }\,\boldsymbol{u}=\left(\begin{matrix}{}\sqrt{3}\\ -1\\ -\sqrt{2}\end{matrix}\right)$$

und bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren.

10.3

Zeigen Sie, dass zwei Vektoren v und w genau dann senkrecht aufeinander stehen, wenn $|\boldsymbol{v}|^{2}+|\boldsymbol{w}|^{2}=|\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}|^{2}$.

10.4

Zeigen Sie, dass zwei Vektoren v und w genau dann parallel sind, wenn $|\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}|=|\boldsymbol{v}|+|\boldsymbol{w}|$.

10.5

Welche der folgenden Aussagen ist allgemein richtig für Vektoren v und w? Begründen Sie Ihre Aussage oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.

• a) $\dfrac{\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}}{|\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}|}=\dfrac{\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|}+\dfrac{\boldsymbol{w}}{|\boldsymbol{w}|}$

• b) $|\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}|^{2}=|\boldsymbol{v}|^{2}+2\cdot\langle\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\rangle+|\boldsymbol{w}|^{2}$

• c) $\langle\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\rangle\cdot\boldsymbol{w}=|\boldsymbol{w}|^{2}\cdot\boldsymbol{v}$

10.6

Wird ein Körper der Masse m entlang einer Geraden G durch eine konstante Kraft F (die nicht notwendig in Richtung der Gerade G wirken muss) von A nach B verschoben, so ist die an dem Körper verrichtete Arbeit W gegeben durch

$$W=|\boldsymbol{F}_{G}|\cdot|\overline{AB}|\,$$

wobei F _G die Projektion von F auf die Gerade G (in der von F und G aufgespannten Ebene) ist.

Eine Kraft F der Stärke 200 N verschiebt einen Körper um 8 m auf G und verrichtet dabei eine Arbeit von $900\,\mathrm{N\,m}$. Berechnen Sie den Winkel zwischen G und F.

10.7

Berechnen Sie das Vektorprodukt v × w der beiden Vektoren

$$\boldsymbol{v}=\left(\begin{matrix}{}2\\ 1\\ 3\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{w}=\left(\begin{matrix}{}1\\ -1\\ 1\end{matrix}\right)$$

und das Spatprodukt $[\boldsymbol{v},\boldsymbol{w},\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}]$.

10.8

Zeigen Sie, dass die drei Vektoren

$$\boldsymbol{u}=\left(\begin{matrix}{}1\\ -1\\ 2\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{v}=\left(\begin{matrix}{}3\\ 1\\ -2\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{w}=\left(\begin{matrix}{}-3\\ -5\\ 10\end{matrix}\right)$$

komplanar sind.

10.9

Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds mit den Ecken

$$\begin{array}[]{l l l}P_{1}=(0,0,0)\,,&P_{2}=(4,-1,-1)\,,&P_{3}=(4,2,1)\,,\\ P_{4}=(0,3,2)\,,&P_{5}=(2,2,2)\,,&P_{6}=(6,1,1)\,,\\ P_{7}=(6,4,3)\,,&P_{8}=(2,5,4)\,.&\end{array}$$

10.10

Die drei Vektoren

$$\boldsymbol{u}=\left(\begin{matrix}{}1\\ 1\\ 1\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{v}=\left(\begin{matrix}{}1\\ 2\\ 3\end{matrix}\right),\quad\boldsymbol{w}=\left(\begin{matrix}{}7\\ 3\\ 5\end{matrix}\right)$$

spannen ein Parallelepiped auf. Berechnen Sie sein Volumen.

10.11

Welche der folgenden Aussagen ist allgemein richtig für Vektoren u, v und w? Begründen Sie Ihre Aussage oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.

• a) $\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0}$

• b) $(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v})\times\boldsymbol{w}=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{w}+\boldsymbol{w}\times\boldsymbol{v}$

• c) $|(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v})\times(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})|^{2}=|\boldsymbol{u}|^{2}-|\boldsymbol{v}|^{2}$

10.12

Ein Körper der Masse $m=5.00\,\mathrm{kg}$ bewegt sich auch einer in der x-y-Ebene liegenden, drehbar um die z-Achse als Drehachse gelagerten Kreisscheibe mit einer Geschwindigkeit von $v=3.00\,{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}$ im Abstand von $r=2.00\,\mathrm{m}$ entgegen dem Uhrzeigersinn um die Drehachse. Bestimmen Sie den Impulsvektor L der Drehbewegung für jeden Punkt der Drehbewegung.

10.13

Ein Elektron (Elementarladung $q=1.602\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$) fliegt mit einer Geschwindigkeit von $v=5.00\cdot 10^{6}\,{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}$ durch ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte $B=6.00\cdot 10^{-4}\,\mathrm{T}$. Dabei wirkt auf das Elektron eine Lorentzkraft von $F_{L}=1.50\cdot 10^{-16}\,\mathrm{N}$. Berechnen Sie den Winkel der Flugbahn des Teilchens zur Richtung des Magnetfeldes.

10.14

Bestimmen Sie den Abstand der beiden Punkte $P=(1,2,3)$ und $Q=(3,2,1)$.

10.15

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $P=(1,2,3)$ von der Geraden $G=\left(\begin{matrix}{}0\\ 1\\ -1\end{matrix}\right)+\lambda\left(\begin{matrix}{}-2\\ 1\\ 0\end{matrix}\right)$.

10.16

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $P=(7,3,4)$ von der Geraden durch die Punkte $A=(1,1,1)$ und $B=(2,3,4)$.

10.17

Sind die beiden Geraden $G_{1}=\left(\begin{matrix}{}0\\ 1\\ -1\end{matrix}\right)+\lambda\left(\begin{matrix}{}2\\ 1\\ 1\end{matrix}\right)$ und $G_{2}=\left(\begin{matrix}{}7\\ 0\\ 3\end{matrix}\right)+\lambda\left(\begin{matrix}{}4\\ -2\\ -2\end{matrix}\right)$ parallel? Bestimmen Sie den Abstand $d(G_{1},G_{2})$.

10.18

Sind die beiden Geraden $G_{1}=\left(\begin{matrix}{}0\\ 1\\ -1\end{matrix}\right)+\lambda\left(\begin{matrix}{}-2\\ 1\\ 1\end{matrix}\right)$ und $G_{2}=\left(\begin{matrix}{}7\\ 0\\ 3\end{matrix}\right)+\lambda\left(\begin{matrix}{}4\\ -2\\ -2\end{matrix}\right)$ parallel? Bestimmen Sie den Abstand $d(G_{1},G_{2})$.

10.19

Schneiden sich die beiden Geraden $G_{1}=\boldsymbol{s}_{1}+\lambda\boldsymbol{g}_{1}$ und $G_{2}=\boldsymbol{s}_{2}+\lambda\boldsymbol{g}_{2}$ in genau einem Punkt S, so können wir vom Schnittwinkel dieser beiden Geraden im Schnittpunkt S sprechen. Genau genommen gibt es sogar zwei Schnittwinkel, die sich zu 180 ° ergänzen. Zeigen Sie, dass für den kleineren Schnittwinkel α, den die beiden Geraden im Schnittpunkt S einschließen, gilt:

$$\cos(\alpha)=\frac{|\langle\boldsymbol{g}_{1},\boldsymbol{g}_{2}\rangle|}{|\boldsymbol{g}_{1}|\cdot|\boldsymbol{g}_{2}|}\,.$$

10.20

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $P=(1,2,3)$ von der Ebene

$$E=\left(\begin{matrix}{}0\\ 1\\ 2\end{matrix}\right)+\lambda\left(\begin{matrix}{}-2\\ 1\\ 2\end{matrix}\right)+\mu\left(\begin{matrix}{}1\\ 0\\ 1\end{matrix}\right)\,.$$

10.21

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $P=(3,2,1)$ von der Ebene durch die Punkte $A=(1,1,1)$, $B=(3,3,3)$ und $C=(3,3,-3)$.

10.22

Zeigen Sie, dass die Gerade G durch die Punkte $P=(2,2,0)$ und $Q=(2,2,2)$ und die Ebene durch die Punkte $A=(1,1,1)$, $B=(3,3,3)$ und $C=(3,3,-3)$ parallel sind, und bestimmen Sie den Abstand von G und E.

10.23

Zeigen Sie, dass die Gerade G durch die Punkte $P=(1,1,-3)$ und $Q=(2,2,3)$ und die Ebene

$$E=\left(\begin{matrix}{}2\\ 1\\ 0\end{matrix}\right)+\lambda\left(\begin{matrix}{}-2\\ 1\\ 3\end{matrix}\right)+\mu\left(\begin{matrix}{}1\\ 0\\ 1\end{matrix}\right)$$

parrallel sind und bestimmen Sie den Abstand von G und E.

10.24

Von der Ebene E ₁ ist bekannt, dass sie durch den Punkt $P=(3,0,0)$ geht und parallel zur Ebene E ₂ durch die Punkte $A=(1,1,1)$, $B=(1,2,3)$ und $C=(3,2,1)$ ist. Erstellen Sie die Gleichung von E ₁ in der Form

$$E_{1}=\boldsymbol{s}+\lambda\cdot\boldsymbol{p}_{1}+\mu\cdot\boldsymbol{p}_{2}\,.$$

10.25

Zeigen Sie: Sind die Ebene $E=\boldsymbol{s}_{1}+\lambda\boldsymbol{p}_{1}+\mu\boldsymbol{p}_{2}$ mit Normalenvektor n _E und die Gerade $G=\boldsymbol{s}_{2}+\lambda\boldsymbol{g}$ nicht parallel und ist S der Schnittpunkt von G und E, so gilt:

$$\boldsymbol{r}(S)=\boldsymbol{s}_{2}+\frac{\langle\boldsymbol{n}_{E},\boldsymbol{s}_{1}-\boldsymbol{s}_{2}\rangle}{\langle\boldsymbol{n}_{E},\boldsymbol{g}\rangle}\cdot\boldsymbol{g}\,.$$

10.26

Zeigen Sie: Sind die Ebene $E=\boldsymbol{s}_{1}+\lambda\boldsymbol{p}_{1}+\mu\boldsymbol{p}_{2}$ mit Normalenvektor n _E und die Gerade $G=\boldsymbol{s}_{2}+\lambda\boldsymbol{g}$ nicht parallel, ist S der Schnittpunkt von G und E und ist α der Winkel zwischen E und G in S, so gilt:

$$\sin(\alpha)=\frac{\langle\boldsymbol{n}_{E},\boldsymbol{g}\rangle}{|\boldsymbol{n}_{E}|\cdot|\boldsymbol{g}|}\,.$$