Flächen und Integrale über Flächen im ℝ³

Aufgaben

6.1

Der Kreiskegel $S:\leavevmode\nobreak\ z=R-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, 0 ≤ z ≤ R besitzt die Parameterdarstellung

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(u,v)=\left(\begin{array}[]{c}u\\ v\\ R-\sqrt{u^{2}+v^{2}}\end{array}\right)\end{aligned}$$

mit dem Parameterbereich $B:=\left\{(u,v)\,|\,u^{2}+v^{2}\leq R^{2}\right\}$ (Abb. 6.21). Berechnen Sie den Flächeninhalt von S.

Abb. 6.21

Oberfläche des Kreiskegels aus Aufgabe 6.1

6.2

Die Wendelfläche ist erklärt durch die Parameterdarstellung

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{x}(u,v)=\left(\begin{array}[]{c}u\cos(v)\\ u\sin(v)\\ bv\end{array}\right),\quad(u,v)\in[0,\infty)\times\mathbb{R}\end{aligned}$$

mit dem Parameter b > 0. Berechnen Sie die Tangente und die Normale sowie die Parameterlinien $u=u_{0}$ und $v=v_{0}$.

6.3

Der Körper K wird begrenzt durch die Flächen

$$\begin{aligned}\displaystyle S_{1}:&\displaystyle\;\;\left\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}|\;\;x^{2}+y^{2}\leq 1,\quad z=0\right\},\\ \displaystyle S_{2}:&\displaystyle\;\;\left\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}|\;\;x^{2}+y^{2}=1,\quad 0\leq z\leq 6\right\},\\ \displaystyle S_{3}:&\displaystyle\;\;\left\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}|\;\;x^{2}+y^{2}\leq 1,\quad z=8-2x^{2}-2y^{2}\right\}.\end{aligned}$$

• a) Berechnen Sie das Volumen von K.

• b) Berechnen Sie die Oberfläche von K.

• c) Der Körper K bestehe aus einem Material mit der Dichte

  $$\begin{aligned}\displaystyle\rho(\boldsymbol{x})=\frac{1}{2+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.\end{aligned}$$

  Berechnen Sie die Masse von K.

6.4

Ein Rotationskörper R mit der Meridiankurve $K:r=r(t)$, $z=z(t)$, $t\in[t_{0},t_{1}]$ sei gegeben durch

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{x}(t,\varphi)=\left(\begin{array}[]{c}r(t)\cos(\varphi)\\ r(t)\sin(\varphi)\\ z(t)\end{array}\right),\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ t\in[t_{0},t_{1}],\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \varphi\in[0,2\pi].\end{aligned}$$

• a) Zeigen Sie für die Oberfläche S von R die Formel

  $$\begin{aligned}\displaystyle|S|=2\pi\int_{t_{0}}^{t_{1}}r(t)\cdot\sqrt{r^{\prime}(t)^{2}+z^{\prime}(t)^{2}}\,\mathop{}\!\mathrm{d}t.\end{aligned}$$

• b) Berechnen Sie damit die Oberfläche des Torus (Skizze!)

  $$\begin{aligned}\displaystyle r(t)=A+a\cdot\cos(t),\quad z(t)=a\cdot\sin(t),\quad 0\leq t\leq 2\pi.\end{aligned}$$

6.5

Unter dem Viviani-Fenster $S\subset\mathbb{R}^{3}$ versteht man denjenigen Teil der Oberfläche der Halbkugel vom Radius R > 0

$$\begin{aligned}\displaystyle H:\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},\quad z\geq 0\quad(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3},\end{aligned}$$

der von dem Zylinder

$$\begin{aligned}\displaystyle Z:\,\left(x-\frac{R}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{R^{2}}{4}\end{aligned}$$

herausgestanzt wird (Skizze!). Berechnen Sie den Flächeninhalt von S durch Verwendung von Polarkoordinaten in der x-y-Ebene.

6.6

Es sei S die Mantelfläche des Zylinderhufs zwischen dem Einheitsvollkreis $x^{2}+y^{2}\leq 1$ der x-y-Ebene und der Ebene z = x + 2. Geben Sie eine Parameterdarstellung $\boldsymbol{x}(u,v)$ für S an und berechnen Sie hiermit den Flächeninhalt von S.

6.7

Gegeben sei die Parameterdarstellung des halben Katenoids

$$\begin{aligned}\displaystyle S:\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \boldsymbol{x}(u,v)=\left(\begin{array}[]{c}\cosh(u)\cos(v)\\ \cosh(u)\sin(v)\\ u\end{array}\right),\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ 0\leq u\leq 1,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ 0\leq v\leq 2\pi.\end{aligned}$$

Berechnen Sie

$$\begin{aligned}\displaystyle\iint_{S}(x^{4}+y^{4})\sinh(z)\,\mathop{}\!\mathrm{d}S.\end{aligned}$$

6.8

Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}x^{2}\\ xy\\ xz\end{array}\right)\end{aligned}$$

durch die geschlossene Oberfläche S des Würfels, der durch x = 0, y = 0, z = 0 und x = 1, y = 1 und z = 1 begrenzt wird (Abb. 6.22).

Abb. 6.22

Würfelfläche S aus Aufgabe 6.8

6.9

Es sei $S\subset\mathbb{R}^{3}$ die Fläche

$$\begin{aligned}\displaystyle S:=\left\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}|\;\;0\leq x\leq 1,\;\;0\leq y\leq x,\;\;z=1+xy\right\}.\end{aligned}$$

Berechnen Sie folgende Flächenintegrale:

• a) $\displaystyle\iint_{S}(z-1)\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}\,\mathop{}\!\mathrm{d}S$

• b) $\displaystyle\iint_{S}\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v}\,\mathop{}\!\mathrm{d}S$ mit $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}x\\ z\\ z\end{array}\right)$

6.10

Es sei $S\subset\mathbb{R}^{3}$ die Fläche

$$\begin{aligned}\displaystyle S:=\left\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}|\;\;0\leq x\leq 1,\;\;-x\leq y\leq x,\;\;z=\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right\}.\end{aligned}$$

Berechnen Sie folgende Flächenintegrale:

• a) $\displaystyle\iint_{S}\sqrt{1+2z}\,\mathop{}\!\mathrm{d}S$

• b) $\displaystyle\iint_{S}\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v}\,\mathop{}\!\mathrm{d}S$ mit $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}y\\ x\\ 2z\end{array}\right)$

6.11

Die Fläche

$$\begin{aligned}\displaystyle S:=\left\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}|\;\;x+y+z=1,\quad x\geq 0,\;\;y\geq 0,\;\;z\geq 0\right\}\end{aligned}$$

beschreibt ein Dreieck im ersten Oktanten des kartesischen Koordinatensystems.

• a) Berechnen Sie die Fläche von S.

• b) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ durch S:

  $$\begin{aligned}\displaystyle\Phi=\iint_{S}\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v}\,\mathop{}\!\mathrm{d}S.\end{aligned}$$

6.12

Ein Fluid fließt mit einer Geschwindigkeit $\boldsymbol{v}=\left(\begin{array}[]{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ durch die Fläche S mit

$$\begin{aligned}\displaystyle S:=\left\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}|\;\;z=\cos\left(\frac{\pi\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}\right),\quad x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}.\end{aligned}$$

Wie viele Liter strömen pro Sekunde durch S?

6.13

Es sei S eine Paraboloidfläche mit

$$\begin{aligned}\displaystyle S:=\left\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^{3}|\;\;z=1-x^{2}-y^{2},\quad z\geq 0\right\}.\end{aligned}$$

Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes $\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}2x\\ 2y\\ z\end{array}\right)$ durch S:

$$\begin{aligned}\displaystyle\Phi=\iint_{S}\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v}\,\mathop{}\!\mathrm{d}S.\end{aligned}$$

6.14

Der Körper K werde durch die Flächen M und B berandet (Polarkoordinaten, Skizze!):

$$\begin{aligned}\displaystyle M:\,\boldsymbol{x}(r,\varphi)=\left(\begin{array}[]{c}r\cos(\varphi)\\ r\sin(\varphi)\\ 1-r^{2}\end{array}\right),\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ 0\leq\varphi<2\pi,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ 0\leq r\leq 1\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\displaystyle B:\,\boldsymbol{x}(r,\varphi)=\left(\begin{array}[]{c}r\cos(\varphi)\\ r\sin(\varphi)\\ 0\end{array}\right),\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ 0\leq\varphi<2\pi,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ 0\leq r\leq 1\end{aligned}$$

Weiter sei das Vektorfeld

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}[]{c}x\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ y\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ z\sqrt{x^{2}+y^{2}}\end{array}\right),\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}[]{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{3}\end{aligned}$$

vorgelegt. Berechnen Sie den Fluss Φ von F durch den Rand von K:

$$\begin{aligned}\displaystyle\Phi=\iint_{\partial K}\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{F}\,\mathop{}\!\mathrm{d}S.\end{aligned}$$