Bilanzieren in der Ebene und im Raum – Integralrechnung für Funktionen von mehreren Variablen

Aufgaben

3.1

Skizzieren Sie folgende Teilmengen des $\mathbb{R}^{2}$:

• a) $M=\{(x,y)\,|\,0\leq x\leq 2,\ 0\leq y\leq 2x-x^{2}\}$

• b) $M=\{(x,y)\,|\,{-}1\leq x\leq 1,\ x-1\leq y\leq e^{x}\}$

• c) $M=\{(x,y)\,|\,0\leq x\leq 2,\ 0\leq y\leq x^{2}\}$

• d) $M=\{(x,y)\,|\,y\geq x^{2},\ y\leq\cos x\}$

3.2

Schreiben Sie die folgenden Mengen als Normalbereich:

3.3

Berechnen Sie die folgenden Integrale:

• a) $\displaystyle\int\limits_{D}(3x+2y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y)$, $D=[3,4]\times[0,2]$

• b) $\displaystyle\int\limits_{D}(x^{2}+xy)\,\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y)$, $D=[0,1]\times[1,2]$

• c) $\displaystyle\int\limits_{D}\mathrm{e}^{(x-y)}\,\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y)$, $D=[0,2]\times[1,2]$

• d) $\displaystyle\int\limits_{D}\cos(x+y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y)$, $D=[0,\frac{\pi}{2}]\times[0,\frac{\pi}{2}]$

3.4

Berechnen Sie die folgenden Integrale:

• a) $I_{1}=\displaystyle\int\limits_{D}(2x+3y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y)$ mit $D=\{(x,y):\ 0\leq x\leq 3,\ x-2\leq y\leq x\}$

• b) $I_{2}=\displaystyle\int\limits_{D}(xy+y^{2})\,\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y)$ mit $D=D_{1}\cup D_{2}$, wobei

  $D_{1}=\{(x,y)\,|\,{-}1\leq x\leq 0,\ -1-x\leq y\leq 1+x\}$ und $D_{2}=\{(x,y)\,|\,0\leq x\leq 1,\ -1+x\leq y\leq 1-x\}$

3.5

Es sei W die dreidimensionale Punktmenge, die von den Ebenen x = 0, y = 0, z = 2 und der Fläche $z=x^{2}+y^{2}$, x ≥ 0,y ≥ 0 begrenzt wird. W sei mit der Dichte $\rho(x,y,z)=\sqrt{z-y^{2}}$ belegt. Schreiben Sie die Masse

$$m=\iiint_{W}\rho\,\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y,z)$$

auf sechs verschiedene Arten als iteriertes Integral in kartesischen Koordinaten und berechnen Sie dann m mit einer „geeigneten“ Integrationsreihenfolge.

3.6

Es sei D sei das Dreieck, das durch die Geraden x = 0, y = 0 und $y=-\frac{1}{2}x+1$ begrenzt ist.

Skizzieren Sie den Integrationsbereich D und berechnen Sie das Integral der Funktion f mit $f(x,y)=x^{2}\cdot y$ über D auf zwei Arten, indem Sie einmal zunächst über y und dann über x integrieren und danach die Integrationsreihenfolge umkehren.

3.7

Es sei D der Normalbereich, der von den Kurven y = −x, $y=x^{2}$, x = 1 im ersten und vierten Quadranten berandet ist.

• a) Skizzieren Sie die Menge D.

• b) Berechnen Sie das Integral der Funktion f mit $f(x,y)=x^{2}+2xy$ über D einmal, indem Sie innen über x und außen über y integrieren und einmal mit umgekehrter Integrationsreihenfolge.

3.8

Berechnen Sie das Integral der Funktion f mit $f(x,y,z)=x+y$ über dem Quader $D=[0,1]\times[1,2]\times[1,3]$.

3.9

Berechnen Sie die Fläche des Kreises K mit Radius R um den Ursprung mithilfe von Polarkoordinaten.

3.10

Die Funktion f mit $f(x,y)=\cos(x^{2}+y^{2})$ soll über den Viertelkreisring

$$D:=\left\{(r,\varphi)|\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ r_{1}\leq r\leq r_{2},\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ 0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}\right\}$$

integriert werden.

3.11

Die Funktion f mit $f(x,y)=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ soll über dem Viertelkreisring

$$D:=\left\{(r,\varphi)|\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ r_{1}\leq r\leq r_{2},\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ 0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}\right\}$$

integriert werden.

3.12

Die Punktmenge $D\subset\mathbb{R}^{2}$ sei erklärt durch

$$D:=\left\{(x,y)|\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ 1\leq x^{2}+y^{2}\leq 4,\quad y\geq x,\quad x,y\geq 0\right\}.$$

Skizzieren Sie D und berechnen Sie das Integral

$$J=\iint_{D}x\cdot y\,\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y)$$

• a) in kartesischen Koordinaten

• b) in Polarkoordinaten.

3.13

Es sei A der erste Quadrant, also die Menge

$$A:=\left\{(x,y)\,|\,x\geq 0,\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ y\geq 0\right\}.$$

• a) Begründen Sie, dass

  $$\iint_{A}\mathrm{e}^{-(x^{2}+y^{2})}\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y)=\left(\int\limits_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x\right)^{2}.$$

• b) Berechnen Sie das linke Integral mithilfe von Polarkoordinaten.

• c) Berechnen Sie mit a) und b) den Wert des uneigentlichen Integrals

  $$\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\mathop{}\!\mathrm{d}x,$$

  das in der Stochastik bei der Normalverteilung eine wichtige Rolle spielt.

3.14

Es sei B der Normalbereich $B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\,|\,0\leq x\leq 2,\ -x\leq y\leq 1+x\}$. Berechnen Sie

$$\begin{aligned}\displaystyle\iint\limits_{B}(x^{2}y-2xy)\,\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y).\end{aligned}$$

3.15

Der Normalbereich $D\subset\mathbb{R}^{2}$ ist gegeben durch

$$\begin{aligned}\displaystyle D&\displaystyle=\{(x,y)\,|\,{-}2\leq x\leq 1,-2-x\leq y\leq x+3\}\\ \displaystyle&\displaystyle\cup\{(x,y)\,|\,1\leq x\leq 3,-4+x\leq y\leq 6-2x\}.\end{aligned}$$

• a) Skizzieren Sie D.

• b) Berechnen Sie

  $$\iint\limits_{D}2x^{3}y\,\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y).$$

3.16

Die y-Achse, die x-Achse sowie die Gerade y = 4 − 2x begrenzen den Bereich $D\subset\mathbb{R}^{2}$.

• a) Schreiben Sie D als Normalbereich.

• b) Berechnen Sie das Doppelintegral

  $$\begin{aligned}\displaystyle\iint\limits_{D}(25-x^{2}-y^{2})\,\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y).\end{aligned}$$

• c) Skizzieren Sie D.

3.17

Es sei B der Bereich im ersten Quadranten, der oberhalb der Geraden $y=\frac{x}{2}$ und unterhalb der Parabel $y=3-\displaystyle\frac{x^{2}}{2}$ liegt.

• a) Schreiben Sie B als Normalbereich.

• b) Berechnen Sie das Doppelintegral

  $$\begin{aligned}\displaystyle\iint\limits_{B}(x^{2}+2y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y).\end{aligned}$$

3.18

Schreiben Sie den skizzierten Bereich als Vereinigung zweier x-Normalbereiche:

3.19

Es sei D der in folgender Skizze dargestellte Bereich:

• a) Schreiben Sie D als Vereinigung zweier Normalbereiche.

• b) Berechnen Sie das Doppelintegral

  $$\begin{aligned}\displaystyle\iint\limits_{D}(x^{2}+3xy+2y)\,\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y).\end{aligned}$$

3.20

Sei $D:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\,|\,x,y\geq 0,\frac{\pi}{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq\frac{\pi}{2}\}.$

Berechnen Sie das ebene Gebietsintegral

$$J=\iint\limits_{D}\sin(x^{2}+y^{2})\arctan\frac{y}{x}\,\mathop{}\!\mathrm{d}(x,y)$$

mithilfe von Polarkoordinaten.