Von Gipfeln und Tälern – Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen

Aufgaben

2.1

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für die Funktionen f mit:

a) $f(x,y)=(2x-6y)^{3}$

b) $f(x,y)=\displaystyle\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}$

c) $f(x,y)=\sqrt{y^{2}-2xy}$

d) $f(x,y)=\sin(y-x)+\ln\left(\frac{y}{x}\right)$

e) $f(x,y)=\ln(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$

f) $f(x,t)=\displaystyle\frac{2tx}{x+t}$

2.2

Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung sowie den Gradienten der folgenden Funktionen:

a) $f(x,y)=x^{2}\sin y+\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x}}{y}$

b) $g(x,y,z)=x^{3}y+y^{2}z^{2}+z^{3}x$

2.3

Berechnen Sie den Gradienten $\boldsymbol{\nabla}f$ und das totale Differenzial (in einem beliebigen Punkt) der folgenden Funktionen:

a) $f(x,y,z)=\sin(x)y\cos(z)$

b) $\displaystyle f(x,y,z)=\frac{3z}{\sin(-x+2y+3z)}$

2.4

Bestimmen Sie für die Funktionen f mit

a) $f(x,y)=\sqrt{x^{3}-y^{2}}$

b) $f(x,y)=x^{2}y$

c) $f(x,y)=\displaystyle\frac{x+1}{y+1}$

den Gradienten sowie die Richtungsableitung in Richtung $\boldsymbol{u}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}[]{c}1\\ 1\end{array}\right)$ und $\boldsymbol{v}=\displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}$ im Punkt $(2,1)$.

2.5

Verifizieren Sie für die Funktion f, die gegeben ist durch

$$f(x,y)=5xy-\sin(x-y)+x^{2}y^{3}$$

den Satz von Schwarz für die folgenden partiellen Ableitungen:

a) f _xy und f _yx

b) f _xxy , f _xyx und f _yxx

2.6

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene im Punkt P des Schaubildes für:

a) $f(x,y)=(x+y)\mathrm{e}^{x}$ im Punkt $P(0,1,f(0,1))$

b) $f(x,y)=\displaystyle\frac{3x}{y}+2\sin(\pi(x+2y))$ im Punkt $P(2,1,f(2,1))$

2.7

Berechnen Sie das totale Differenzial in einem allgemeinen Punkt $(x,y)$ zu den Zuwächsen $\Updelta x$ und $\Updelta y$ für die Funktionen f mit:

a) $f(x,y)=4x^{2}y-3xy$

b) $f(x,y)=\displaystyle\frac{y+x}{y-2x}$

c) $f(x,y)=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x}}{x-y}$

2.8

Die Oberfläche eines Zylinders mit Radius r und Höhe h ist bekanntlich gegeben durch

$$O(r,h)=2\pi r^{2}+2\pi rh.$$

Durch fehlerbehaftete Messung wurde $r=5\,\mathrm{cm}\pm 1\,\%$ und $h=20\,\mathrm{cm}\pm 3\,\%$ ermittelt. Schätzen Sie mithilfe des totalen Differenzials den maximalen absoluten und relativen Fehler ab und geben Sie ein Intervall an, in dem der tatsächliche Wert der Oberfläche liegt.

2.9

Ermitteln Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für die Funktion f mit

$$z=f(x,y,z)=xy+x^{2}z+yz^{2}.$$

Berechnen Sie für die Funktionsänderung $\Updelta z$ und das totale Differenzial dz im Punkt $(1,2,3)$ zu den Zuwächsen $\Updelta x=-0.1$, $\Updelta y=0.2$ und $\Updelta z=-0.2$.

2.10

Bei einem Wassertank, in dem das Wasser h Meter hoch steht, ist die Abflussgeschwindigkeit an der Sohle durch

$$v=\sqrt{2gh}$$

gegeben. Dabei bedeutet g die Gravitationskonstante der Erde. Berechnen Sie das Differenzial $\mathop{}\!\mathrm{d}v$ und damit ein Intervall, in dem sich der Wert von v im Falle der fehlerbehafteten Daten

$$g=(9.81\pm 0.005)\mathrm{ms}^{-2},\qquad h=(12\pm 0.03)\mathrm{m}$$

befindet. Rechnen Sie mit 4 Dezimalstellen.

2.11

Gegeben ist die Funktion $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ durch

$$f(x,y)=y\cdot\ln x+x\cdot\mathrm{e}^{y+2}.$$

a) Bestimmen Sie die Tangentialebene an das Schaubild von f im Punkt $P(1,-2,f(1,-2))$.

b) Bestimmen Sie mithilfe des totalen Differenzials einen Näherungswert für $f(0.9,-1.9)$.

c) Bestimmen Sie Betrag und Richtung der maximalen Richtungsableitung in $(1,-2)$.

2.12

Gegeben ist die Funktion $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ durch

$$f(x,y)=\frac{\mathrm{e}^{x+2}}{y^{3}}.$$

a) Bestimmen Sie den Gradienten $\nabla f$.

b) Berechnen Sie die Richtungsableitung $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol{u}}$ in Richtung $\boldsymbol{u}=(4/5,-3/5)^{\top}$ im Punkt $(-2,1)$.

c) Bestimmen Sie mit dem totalen Differenzial eine Abschätzung, um wie viel der Wert $f(-2.2,1.1)$ von $f(-2,1)$ abweicht.

d) Geben Sie das totale Differenzial in einem allgemeinen Punkt $(x,y)$ zu den Zuwächsen $\Updelta x$ und $\Updelta y$ für die Funktion f an.

e) In welcher Richtung verläuft die Niveaulinie durch den Punkt $(-2,1,f(-2,1))$, d. h., in welcher Richtung verschwindet die Richtungsableitung?

2.13

Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit

$$f(x,y)=\frac{x^{3}-9x}{1+y^{2}}.$$

Geben Sie an, um welche Art von Extremum es sich jeweils handelt.

2.14

Bestimmen Sie alle kritischen Punkte (d. h. solche mit $\boldsymbol{\nabla}f=\mathbf{0}$) der Funktion $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit

$$f(x,y)=\frac{1}{6}x^{3}+y^{2}+xy-\frac{7}{2}x-y.$$

Geben Sie jeweils an, ob dort ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.

2.15

Gegeben ist die Funktion $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ durch

$$f(x,y)=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{4}{3}y^{3}-x^{2}-3x-4y-3.$$

a) Bestimmen Sie alle Punkte, in denen f Extrema haben kann, und prüfen Sie nach, um welche Art von Extremum es sich jeweils handelt.

b) Berechnen Sie im Punkt $(1,1)$ den Gradienten $\boldsymbol{\nabla}f$ sowie die Richtungsableitung $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol{u}}$ in Richtung $\boldsymbol{u}=(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})^{\top}$.

2.16

Gegeben sei die Gleichung

$$x-y^{2}+1=0,\qquad x,y\in\mathbb{R}.$$

a) Durch die Gleichung ist eine Kurve in $\mathbb{R}^{2}$ definiert. Fertigen Sie eine Skizze davon an.

b) Ist durch Gleichung um $(\hat{x}^{(1)},\hat{y}^{(1)})=(3,2)$ bzw. um $(\hat{x}^{(2)},\hat{y}^{(2)})=(-1,0)$ eine Funktion $y=g(x)$ definiert?

2.17

Zeigen Sie, dass durch die Gleichung

$$\mathrm{e}^{y}-\mathrm{e}^{x}+xy=0$$

in einer Umgebung von $(x,y)=(0,0)$ implizit eine Funktion $y=g(x)$ definiert ist. Berechnen Sie das Taylor-Polynom zweiten Grades von g um x = 0.

2.18

Berechnen Sie die Jacobi-Matrizen der Funktionen f und g mit:

a) $\boldsymbol{f}(x,y,z)=\begin{pmatrix}\sin(x)+\ln(1-y^{2})\\ \mathrm{e}^{-y^{2}}\\ \cosh(xz)\end{pmatrix}$

b) $\boldsymbol{g}(x,y,z)=\begin{pmatrix}x^{3}+2y^{2}+\sin z\\ xy^{2}z^{3}\\ \cos(x)\sin(y)\end{pmatrix}$

2.19

a) Berechnen Sie $\left(\,\boldsymbol{f}^{T}\boldsymbol{g}\right)^{\prime}$ und $(\,\boldsymbol{f}\circ\boldsymbol{g})^{\prime}$ für

$$\boldsymbol{f}(x,y)=\binom{x+y^{2}}{2y^{3}},\quad\boldsymbol{g}(x,y)=\binom{y\,\sin(x)}{\cos(x)+y},\quad x,y\in\mathbb{R}.$$

b) Berechnen Sie $(\,\boldsymbol{f}\circ\boldsymbol{g})^{\prime}$ zunächst direkt und dann mithilfe der Kettenregel für

$$\boldsymbol{f}(x,y)=\binom{x+1}{y^{2}}\quad\text{und}\quad\boldsymbol{g}(x,y)=\binom{x\,\cosh y}{x}.$$

2.20

Bestimmen Sie die Linearisierung in $\hat{\boldsymbol{x}}=(1,1,1)^{\top}$ für $\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}$ mit

$$\boldsymbol{f}(x,y,z)=\left(\frac{z}{1+x+y},\ \frac{xy}{1+z}\right)^{\top}.$$

Geben Sie mithilfe der Linearisierung eine Näherung für den Funktionswert in $\boldsymbol{x}=(0.99,1.01,1.01)^{\top}$ an und vergleichen Sie diese mit dem „wahren“ Funktionswert $\boldsymbol{f}(1,1,1)$.