Einführung in die Optimierung

Aufgaben

14.1

Bringen Sie die folgenden Optimierungsprobleme in die Standardform, zeichnen Sie die zulässige Menge in einem x-y-Koordinatensystem und geben Sie globale bzw. lokale Lösungen an:

• a) Maximiere x + y unter $x,y\in\mathbb{R}$.

• b) Minimiere x + y unter 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, $x,y\in\mathbb{R}$.

• c) Minimiere x + y unter $x^{2}+y^{2}=1$, $x,y\in\mathbb{R}$.

14.2

Ackerbauproblem : Ein Landwirt hat 50 ha Land für den Anbau von Braugerste und Zuckerrüben zur Verfügung. Für die Frühjahrsarbeit sind bei der Braugerste 10 h/ha und bei den Zuckerrüben 40 h ∕ ha erforderlich. Während dieser Zeit stehen insgesamt 800 h zur Verfügung. Für die Erntezeit sind bei Braugerste 8 h/ha und bei Zuckerrüben 20 h/ha notwendig. Es stehen für diese Zeit 460 h zur Verfügung. Wegen des notwendigen Fruchtwechsels dürfen nicht mehr als 18 ha Zuckerrüben angebaut werden. Der Gewinn je Hektar Braugerste beträgt 200 Euro und je Hektar Zuckerrüben 600 Euro.

• a) Stellen Sie ein Optimierungsproblem zur Gewinnmaximierung auf und charakterisieren Sie es.

• b) Versuchen Sie, heuristisch eine Lösung zu bestimmen.

Wir merken an, dass das Beispiel mit verschiedensten Zahlenvariationen in überaus vielen Quellen zu finden ist.

14.3

Bestimmen Sie eine Lösung des Konservendosenproblems (14.2), indem Sie eine der beiden Variablen eliminieren. Die natürliche Randbedingung r,h ≥ 0 kann zunächst vernachlässigt werden. Prüfen Sie zum Schluss, ob in der Lösung diese Bedingung erfüllt ist.

14.4

Gegeben seien die folgenden Messdaten:

$$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{|l|l|l|l|l|l|l|}\hline t_{i}&0&1&2&3&\hphantom{1}4&\hphantom{1}5\\ \hline y_{i}&3&5&7&8&10&10\\ \hline\end{array}\end{aligned}$$

• a) Formulieren Sie ein Optimierungsproblem zur Bestimmung einer Ausgleichsgeraden, die die Messdaten im quadratischen Mittel bestmöglich approximiert.

• b) Zeichnen Sie die Daten und bestimmen Sie die optimale Ausgleichsgerade „per Augenmaß“. Wie lautet der zugehörige optimale Zielfunktionswert?