Partielle Differenzialgleichungen – Grundbegriffe und erste Beispiele

Aufgaben

12.1

Gegeben sei die Funktion $V=V(x,y)=x^{3}+axy^{2}$, $a\in\mathbb{R}$.

• a) Zeigen Sie, dass V der Gleichung $xV_{x}+yV_{y}=3V$ genügt.

• b) Für welchen Wert von a istV Lösung der Laplace-Gleichung $V_{xx}+V_{yy}=0$?

12.2

Bestimmen Sie für

$$\begin{aligned}\displaystyle u_{t}=u_{xx}+u\end{aligned}$$

alle Lösungen der Form $u(x,t)=\phi(x-2t)$.

12.3

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von $u_{y}=xyu$.

Hinweis: „Trennung der Variablen“.

12.4

Strom $i(x,t)$ und Spannung $u(x,t)$ in einer langen Übertragungsleitung erfüllen das folgende System von Transportgleichungen

$$\begin{aligned}\displaystyle u_{x}+Li_{t}+Ri=0\\ \displaystyle i_{x}+Cu_{t}+Gu=0\end{aligned}$$

Nehmen Sie R = G = 0 an. Zeigen Sie, dass u in diesem Fall die Wellengleichung $u_{tt}=c^{2}u_{xx}$ erfüllt. Welchen Wert hat c?

Hinweis: Leiten Sie die erste Gleichung partiell nach x und die zweite nach t ab und eliminieren Sie i.

12.5

Eine lineare Approximation einer eindimensionalen Strömung eines idealen Gases ist gegeben durch

$$\begin{aligned}\displaystyle u_{t}+\rho_{x}=0\\ \displaystyle u_{x}+c^{2}\rho_{t}=0\end{aligned}$$

wobei $u=u(x,t)$ die Geschwindigkeit des Gases und $\rho=\rho(x,t)$ seine Dichte ist. Zeigen Sie, dass u und ρ jeweils die Wellengleichung erfüllen.

Hinweis: Leiten Sie die beiden Gleichungen des Gleichungssystems partiell ab, eine nach x, die andere nach t und eliminieren Sie eine der beiden Größen u bzw. ρ.

12.6

Zeigen Sie, dass sich die Wellengleichung $u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0$ in ein System aus zwei Transportgleichungen umschreiben lässt.

Hinweis: Führen Sie zwei neue Funktionen $v=u_{t}$ und $w=cu_{x}$ ein und leiten Sie für diese beiden Funktionen ein System aus zwei Gleichungen erster Ordnung her, das eine ähnliche Bauart hat wie das in der vorhergehenden Aufgabe.

12.7

Lösen Sie die folgenden partiellen Differenzialgleichungen erster Ordnung mit Hilfe der geometrischen Methode:

• a) $u_{t}+au_{x}=0$, $a\in\mathbb{R}$, mit der Anfangsbedingung $u(x,0)=x+2$.

• b) $3u_{t}+4u_{x}=0$ mit der Anfangsbedingung $u(x,0)=\sin x$.

12.8

Eine diffundierende Substanz ist in einem Behälter eingeschlossen, so dass nichts hinzukommen oder entweichen kann. Nach dem fickschen Gesetz ist die Bewegungsrate (transportierte Masse pro Zeiteinheit) proportional zum Gradienten der Konzentration. Formulieren Sie die passende Randbedingung. Um welchen Typ handelt es sich?

Eine diffundierende Substanz befindet sich in einem durchlässigen Behälter, der so konstruiert ist, dass die austretende Substanz sofort weggespült werden kann. Formulieren Sie die passende Randbedingung. Um welchen Typ handelt es sich?