Laplace-Transformation und ihre Anwendung auf Differenzialgleichungen

Aufgaben

11.1

Berechnen Sie jeweils die Laplace-Transformierte

• a) $\varphi_{\omega}(t)=\left\{\begin{array}[]{ll}\omega,&\qquad t\in[0,\infty)\\ 0,&\qquad t\in(-\infty,0)\end{array}\right.$ wobei $\omega\in\mathbb{R}$.

Für die folgenden Funktionen werde nun vorausgesetzt, dass sie auf dem Intervall der negativen Zahlen $(-\infty,0)$ verschwinden, d. h. $f(t)=0$ für t < 0. Berechnen Sie auch hier jeweils die Bildfunktion.

• b) $f(t)=t^{2}$

• c) $f(t)=(t-1)^{2}-2t$

• d) $f(t)=t^{3}\mathrm{e}^{-2t}$

• d) $f(t)=\mathrm{e}^{-at}\cos(\omega t)$

11.2

Bestimmen Sie zur angegebenen Bildfunktion der Laplace-Transformation jeweils eine korrespondierende Originalfunktion.

• a) $F(s)=\frac{1}{s-1}$

• b) $F(s)=\frac{1}{s^{3}}$

• c) $F(s)=\frac{12}{(s+3)^{4}}$

• d) $F(s)=\frac{2s+1}{s^{2}}$

• e) $F(s)=4\frac{s+1}{s^{2}}$  (Hinweis: Teilaufgabe d) und Ähnlichkeitssatz)

• f) $F(s)=\frac{\omega}{\frac{s^{2}}{k}+k\omega^{2}}$

• g) $F(s)=\frac{1}{(s-1)(s+2)}$  (Hinweis: Faltungssatz)

• h) $F(s)=\frac{8}{s^{3}+s}$  (Hinweis: Faltungssatz und $\sin t\ {\circ\!\!-\!\!\bullet}\ \frac{1}{s^{2}+1}$)

11.3

Lösen Sie folgende Anfangswertaufgaben durch Laplace-Transformation

• a) $\dot{y}+y=1,\quad y(0)=0$

• b) $\ddot{y}-\dot{y}=3,\quad y(0)=1,\quad\dot{y}(0)=0$

• c) $\ddot{y}=\cos t-\omega^{2}y,\quad y(0)=1,\quad\dot{y}(0)=0,\quad\omega\not=1$

11.4

Gegeben sei die lineare inhomogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung

$$\ddot{y}=4\mathrm{e}^{2t}+\dot{y}.$$

Lösen Sie diese Differenzialgleichung für die Anfangswerte $y(0)=1$ und $\dot{y}(0)=1$ mittels Laplace-Transformation. Hinweis: Verwenden Sie die Korrespondenz

$$\frac{1}{(s-a)(s-b)(s-c)}\,{\bullet\!\!-\!\!\circ}\,\frac{(b-c)\mathrm{e}^{at}+(c-a)\mathrm{e}^{bt}+(a-b)\mathrm{e}^{ct}}{(a-b)(a-c)(b-c)}.$$