Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Aufgaben

10.1

Bestimmen Sie jeweils die allgemeine Lösung der Differenzialgleichungen:

• a) $y^{\prime\prime}+4y^{\prime}-5y=0$

• b) $y^{\prime\prime}-10y+25y=0$

• c) $y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+13y=0$

• d) $2y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+y=0$

• e) $y^{\prime\prime}+9y^{\prime}=0$

• f) $y^{\prime\prime}+2y=0$

10.2

Geben Sie jeweils die Differenzialgleichung der Form $y^{\prime\prime}+a_{1}y^{\prime}+a_{0}y=0$ an, die die folgenden Fundamentallösungen besitzt:

• a) e^x, e^−2x

• b) e^2x, $x\mathrm{e}^{2x}$

• c) $\mathrm{e}^{-x}\cos 2x$, $\mathrm{e}^{-x}\sin 2x$

• d) $\cos(2x)$, $\sin(2x)$

• e) 1, e^−2x

• f) 1, x

10.3

Bestimmen Sie jeweils die allgemeine Lösung der Differenzialgleichungen:

• a) $y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=x^{2}$

• b) $y^{\prime\prime}+16y=5\sin x$

• c) $y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+3y=8\mathrm{e}^{-x}+6$

• d) $y^{\prime\prime}+y^{\prime}-6y=10\mathrm{e}^{2x}$

• e) $y^{\prime\prime}+4y=2\sin 2x$

10.4

Bestimmen Sie die Lösung der Anfangswertprobleme:

• a) $y^{\prime\prime}+y^{\prime}-2y=x^{4}-2x^{2}+x,\quad y(0)=1,\quad y^{\prime}(0)=-2$

• b) $y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=5\mathrm{e}^{x},\quad y(0)=1,\quad y^{\prime}(0)=2$

10.5

• a) Gegeben ist die Differenzialgleichung

  $$y^{\prime\prime}+2ay^{\prime}+by=0,\quad a,b\in\mathbb{R}$$

  Welche Bedingungen müssen a und b erfüllen, damit die Differenzialgleichung

  • a) nur Exponentialfunktionen als Lösung hat?

  • b) die Funktion $y(x)=\cos(2x)$ als Lösung hat?

• c) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung

  $$y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-8y=12\mathrm{e}^{-2x}.$$

10.6

Gegeben ist die Differenzialgleichung

$$y^{\prime\prime}+2ay^{\prime}+2y=r(x)$$

(10.21)

mit einem reellen Parameter $a\in\mathbb{R}$.

• a) Bestimmen Sie für a = 1 und $r(x)=0$ die allgemeine Lösung der Gleichung.

• b) Bestimmen Sie für a = 1 und $r(x)=\sin x$ die allgemeine Lösung der Gleichung.

• c) Geben Sie eine Funktion r(x) an, so dass für a = 1 in (10.21) Resonanz auftritt. (Die Lösung der Differenzialgleichung ist nicht verlangt)

• d) Bestimmen Sie den Parameter $a\in\mathbb{R}$ so, dass für $r(x)=e^{2x}$ Resonanz auftritt. (Die Lösung der Differenzialgleichung ist nicht verlangt.)

10.7

Gegeben ist die Differenzialgleichung

$$y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+4y=r(x).$$

(10.22)

• a) Es sei a = 5 und $r(x)=5\mathrm{e}^{x}-6\mathrm{e}^{-x}$. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von (10.22).

• b) Wie müssen a und r(x) in (10.22) gewählt werden, damit die allgemeine Lösung gegeben ist durch $y(x)=C_{1}\mathrm{e}^{2x}+C_{2}x\mathrm{e}^{2x}+\cos(2x)$?

10.8

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung:

• a)
  $$\begin{aligned}\displaystyle y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0\end{aligned}$$
• b)
  $$\begin{aligned}\displaystyle y^{\prime\prime\prime}-9y^{\prime\prime}+27y^{\prime}-27y=0\end{aligned}$$
• c)
  $$\begin{aligned}\displaystyle y^{\prime\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime\prime}+6y^{\prime\prime}-8y^{\prime}+8y=0\end{aligned}$$

  Hinweis: λ = 1 − i ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung.

10.9

Schreiben Sie für $y=y(t)$ als Differenzialgleichungssystem:

• a) $y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+5y=0$

• b) $y^{\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y=0$

• c) $y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=t^{2}$

• d) $y^{\prime\prime\prime}+ty^{\prime\prime}+2t^{3}y^{\prime}-5t^{4}y=0$

10.10

Verwenden Sie das Eliminationsverfahren, um die folgenden Anfangswertprobleme zu lösen:

• a)
  $$\begin{aligned}\displaystyle \begin{matrix}{}\dot{y}_{1}&=&y_{1}&+&y_{2}\\ \dot{y}_{2}&=&-y_{1}&+&y_{2}\end{matrix},\quad y_{1}(0)=1,y_{2}(0)=0\end{aligned}$$
• b)
  $$\begin{aligned}\displaystyle \begin{matrix}{}\dot{y}_{1}&=&-y_{1}&+&4y_{2}&+&3\mathrm{e}^{3t}\\ \dot{y}_{2}&=&-y_{1}&+&3y_{2}&-&1\end{matrix},\quad y_{1}(0)=y_{2}(0)=0\end{aligned}$$

10.11

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differenzialgleichungssysteme, indem Sie Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen:

• a)
  $$\begin{aligned}\displaystyle \begin{matrix}{}\dot{y_{1}}&=&5y_{1}&-&2y_{2}\\ \dot{y_{2}}&=&4y_{1}&-&y_{2}\end{matrix}\end{aligned}$$
• b)
  $$\begin{aligned}\displaystyle \begin{matrix}{}\dot{y_{1}}&=&y_{1}&-&4y_{2}\\ \dot{y_{2}}&=&y_{1}&+&y_{2}\end{matrix}\end{aligned}$$
• c)
  $$\begin{aligned}\displaystyle \begin{matrix}{}\dot{y_{1}}&=&7y_{1}&-&y_{2}&+&6y_{3}\\ \dot{y_{2}}&=&-10y_{1}&+&4y_{2}&-&12y_{3}\\ \dot{y_{3}}&=&-2y_{1}&+&y_{2}&-&2y_{3}\end{matrix}\end{aligned}$$
• d)
  $$\begin{aligned}\displaystyle \begin{matrix}{}\dot{y_{1}}&=&3y_{1}&+&y_{2}&-&y_{3}\\ \dot{y_{2}}&=&y_{1}&+&3y_{2}&-&y_{3}\\ \dot{y_{3}}&=&3y_{1}&+&3y_{2}&-&y_{3}\end{matrix}\end{aligned}$$