Zusammenfassung
Die Ringe, die wir im letzten Kapitel betrachtet haben, besaßen eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren. Hier werden wir zeigen, wie man vorgehen kann, wenn dies nicht der Fall ist. Wir erklären also das Rechnen mit Idealen und zeigen, dass in jedem Ganzheitsring quadratischer Zahlkörper die eindeutige Zerlegung in Primideale gilt. Die Abweichung von der eindeutigen Zerlegung in Primelemente wird dann von einer der wichtigsten Invarianten eines Zahlkörpers gemessen, nämlich von der Idealklassengruppe. Von dieser werden wir zeigen, dass sie eine endliche Gruppe ist; deren Ordnung nennt man die Klassenzahl.
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Notes
- 1.
Dieser Hilfssatz ist verwandt mit dem „Prager Satz“ von Dedekind; s. [39]. An dieser Stelle geht ganz wesentlich ein, dass der Ring \(\mathcal{O}_{k}\) ganz abgeschlossen ist, also gleich der Maximalordnung ist.
- 2.
Das Legendre-Symbol \((\frac{a}{p})\) hat für ungerade Primzahlen p den Wert +1 oder −1, für den \(a^{(p-1)/2}\equiv(\frac{a}{p})\bmod p\) gilt.
- 3.
Ein Hauptideal der Form \((\alpha)\), wo \(\alpha\in k^{\times}\) nicht notwendig ganz ist, heißt gebrochenes Hauptideal („fractional principal ideal“ im Englischen), und es ist \((\alpha)=\alpha\mathcal{O}_{k}\).
- 4.
Ganz ähnlich kann man zeigen, dass die Fermatgleichung \(x^{p}+y^{p}=z^{p}\) für prime p nur triviale ganzzahlige Lösungen mit xyz = 0 besitzt, wenn p die Klassenzahl des Körpers \({\mathbb{Q}}(\zeta_{p})\) der p-ten Einheitswurzeln nicht teilt – dies ist Kummers Zugang zum Fermatschen Problem.
- 5.
Das ist die 3-Sylowgruppe der Idealklassengruppe, die also aus allen Idealklassen besteht, deren Ordnung eine Potenz von 3 ist.
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Lemmermeyer, F. (2017). Idealarithmetik in quadratischen Zahlkörpern. In: Quadratische Zahlkörper. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-53822-7_5
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-53822-7_5
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-53821-0
Online ISBN: 978-3-662-53822-7
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