Zusammenfassung
Werden die Kurse der Wertpapiere eines vollständigen und arbitragefreien Marktmodells \(\left(S,\mathcal{F}\right)\) mithilfe eines der Finanzinstrumente des Modells, das dann Numéraire genannt wird, modifiziert, dann ist das entstehende Marktmodell \(\left(\tilde{S},\mathcal{F}\right)\) ebenfalls arbitragefrei und vollständig. Der Diskontprozess \(\tilde{\phi}\) von \(\left(\tilde{S},\mathcal{F}\right)\) hat die Eigenschaft, dass \(Q=\tilde{\phi}_{n}\) als Wahrscheinlichkeitsmaß interpretiert werden kann. Darüber hinaus wird der Diskontierungsoperator zur bedingten Erwartung bezüglich Q und die modifizierten Kurse werden zu Martingalen. Dies wird in Abschn. 1 dargestellt.
In den darauf folgenden Abschnitten des Kapitels wird gezeigt, wie umgekehrt in einem vollständigen und arbitragefreien Marktmodell \(\left(S,\mathcal{F}\right)\) mithilfe der diskreten stochastischen Analysis ein Wahrscheinlichkeitsmaß konstruiert werden kann, bezüglich dessen die mit einem Numéraire modifizierten Kurse zu Martingalen bezüglich dieses Maßes werden. Dann wird gezeigt, wie mithilfe dieses Maßes der Diskontprozess des Mehr-Perioden-Modells definiert werden kann.
Die stochastische Analysis bietet somit einen alternativen Zugang zur Konstruktion von Diskontprozessen. In Kap. 6 wird gezeigt, dass sich dieses Konstruktionsverfahren auch in der stetigen Finanzmathematik durchführen lässt.
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Notes
- 1.
Alternativ kann das Martingalmaß Q auch wie folgt konstruiert werden: Nach der ersten Zeile von (5.6) ist \(\tilde{S}\) genau dann ein Martingal bezüglich eines zunächst beliebigen Wahrscheinlichkeitsmaßes Q, wenn gilt
$$\displaystyle\mathbf{E}_{t-1}^{Q}\left[\frac{1+\mu_{t}+\Updelta W_{t}}{1+r}\right]=1.$$(5.10)Nach Satz 4.79 ist der Prozess
$$\displaystyle V_{t}=W_{t}-\int_{0}^{t}\frac{\mathrm{d}\left\langle W,\mathcal{L}\right\rangle^{P}}{\mathcal{L}_{-}}$$ein Q-Martingal. Wird \(\Updelta W_{t}=\Updelta V_{t}+\frac{1}{\mathcal{L}_{t-1}}\Updelta\left\langle W,\mathcal{L}\right\rangle_{t}^{P}\) in (5.10) eingesetzt, dann folgt
$$\displaystyle r-\mu_{t}=\frac{1}{\mathcal{L}_{t-1}}\mathbf{E}_{t-1}^{Q}\left[\mathbf{E}_{t-1}^{P}\left[\Updelta W_{t}\Updelta\mathcal{L}_{t}\right]\right]=\frac{1}{\mathcal{L}_{t-1}}\mathbf{E}_{t-1}^{P}\left[\Updelta W_{t}\Updelta\mathcal{L}_{t}\right],$$(5.11)denn \(\mathbf{E}_{t-1}^{P}\left[\Updelta W_{t}\Updelta\mathcal{L}_{t}\right]\) ist \(\mathcal{F}_{t-1}\)-messbar. Nach Korollar 4.68 des Martingal-Darstellungssatzes gibt es einen vorhersehbaren Prozess β mit
$$\displaystyle\Updelta\mathcal{L}_{t}=\mathcal{L}_{t-1}\beta_{t}\Updelta W_{t}.$$Einsetzen in (5.11) liefert
$$\displaystyle r-\mu_{t}=\beta_{t}\mathbf{E}_{t-1}^{P}\left[\left(\Updelta W_{t}\right)^{2}\right].$$Mit \(\sigma_{t}^{2}=\mathbf{E}_{t-1}^{P}\left[\left(\Updelta W_{t}\right)^{2}\right]\) lässt sich β t schreiben als
$$\displaystyle\beta_{t}=-\frac{\mu_{t}-r}{\sigma_{t}^{2}},$$und mit \(\mathcal{L}_{n}\left(\omega\right)=\frac{Q\left(\omega\right)}{P\left(\omega\right)}\) folgt
$$\displaystyle Q\left(\omega\right)=P\left(\omega\right)\prod_{t=1}^{n}\left(1-\frac{\mu_{t}-r}{\sigma_{t}^{2}}\Updelta W_{t}\right)\left(\omega\right),$$was zu zeigen war.
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Kremer, J. (2017). Diskrete stochastische Finanzmathematik. In: Preise in Finanzmärkten. Springer Gabler, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-53726-8_5
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