Topologie

Zusammenfassung

Wir geben in diesem Kapitel eine Einführung in die Begriffe der allgemeinen Topologie. Zunächst werden metrische und topologische Räume definiert und das Konzept der offenen und abgeschlossenen Mengen vorgestellt. Die Definitionen sind so bestimmt, dass wir im Abschn. 6.2 stetige Abbildungen und Homöomorphismen zwischen topologischen Räumen und die Konvergenz von Folgen und Filtern in diesen Räumen definieren können. Im Abschn. 6.3 stellen wir mit Produkten, Quotienten, Summen und Verklebungen zentrale Konstruktionen von topologischen Räumen vor. Im Abschn. 6.4 wird die Hierarchie der Trennungsqualitäten topologischer Räume mit Beispielen und Gegenbeispielen eingeführt. Zusätzlich definieren in diesem Abschnitt topologische Mannigfaltigkeiten sowie die Kategorien topologischer Räume. Im Abschn. 6.5 finden sich die Definition kompakter Räume und zwei Möglichkeiten der Kompaktifizierung beliebiger topologischer Räume. Zusammenhängende, weg-zusammenhängende und total zusammenhängende topologische Räume werden im Abschn. 6.6 beschrieben. Den Abschluss des Kapitels bildet ein Einstieg in Begriffe der algebraischen Topologie. Wir stellen das Konzept der Homotopie von Abbildungen vor und führen die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes ein. Darüber hinaus werfen wir auch noch kurz einen Blick auf topologische Knoten und deren Isotopie.

Für eine Darstellung der grundlegenden Sätze und Beweise der mengentheoretischen Topologie empfehlen wir Querenburg; 2013. Eine Vertiefung der algebraischen Topologie bietet Lück; 2005.