Dynamische Systeme

Zusammenfassung

In diesem Kapitel findet sich ein Überblick über die Grundbegriffe der Theorie dynamischer Systeme. Wir definieren im Abschn. 13.1 topologische dynamische Systeme und zeigen zahlreiche paradigmatische Beispiele. Weiterhin definieren wir periodische und rekurrente sowie heterokline und homokline Orbits. Mit den Begriffen Transitivität, Sensitivität, Mischung, Chaos, Attraktor und Repeller werden globale Charakteristika eines topologischen dynamischen Systems beschrieben. Zum Abschluss dieses Abschnitts führen wir mit der topologischen Entropie eine wichtige Invariante der topologischen Dynamik ein. Im Abschn. 13.2 definieren wir mit invarianten, ergodischen und mischenden Maßen die Grundbegriffe der Ergodentheorie, in der maßtheoretische dynamische Systeme untersucht werden. Diese Begriffe werden anhand grundlegender Beispiele erläutert. Mit der maßtheoretischen Entropie definieren wir am Ende dieses Abschnitts eine wichtige Invariante der Ergodentheorie. Im Abschn. 13.3 über die differenzierbare Dynamik definieren wir insbesondere stabile, instabile und hyperbolische Fixpunkte sowie hyperbolische invariante Mengen und die zugehörigen stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten. Mit dem Solenoid und dem Hufeisen zeigen wir Beispiele, die für die Entwicklung der differenzierbaren Dynamik entscheidend waren. Im letzten Abschnitt des Kapitels findet sich eine kurze Einführung in die Grundbegriffe der Dynamik holomorpher bzw. meromorpher Funktionen. Außerdem werden Julia-Mengen, Fatou-Mengen und die Mandelbrot-Menge definiert und durch Abbildungen veranschaulicht.