Zahlentheorie

Zusammenfassung

In diesem Kapitel geben wir einen Überblick über die Begriffe der elementaren Zahlentheorie, unter Berücksichtigung einiger grundlegender Notationen der algebraischen und der analytischen Zahlentheorie. Im ersten Abschnitt beschreiben wir den euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers, definieren Primzahlen und Primzahlzwillinge sowie Pseudoprimzahlen und verwenden die Summe der Teiler, um vollkommene, abundante, defiziente, einsame, befreundete und bekannte Zahlen einzuführen. Im Abschn. 11.2 werden die Grundbegriffe der modularen Arithmetik definiert und quadratische Reste zusammen mit dem Legendre- und dem Jakobi-Symbol bestimmt. Weiterhin stellen wir den diskreten Logarithmus vor. Im Abschn. 11.3 führen wir die wichtigsten elementaren zahlentheoretischen Funktionen ein, definieren deren Dirichlet-Reihe und erhalten als Beispiel insbesondere die L-Reihen zu Dirichlet-Charakteren. Der Abschn. 11.4 ist den diophantischen Gleichungen der algebraischen Zahlentheorie gewidmet. Wir zeigen zahlreiche Beispiele und definieren diophantische Mengen. Im Abschn. 11.5 führen wir Kettenbrüche ein und beschäftigen uns mit der Approximation von reellen durch rationale Zahlen. Wir definieren in diesem Zusammenhang den Exponenten einer diophantischen Approximation, das Irrationalitätsmaß einer reellen Zahl und das Lagrange-Spektrum. Im letzten Abschnitt des Kapitels zeigen wir mit Beispielen die Definition einiger spezieller algebraischer und transzendenter Zahlen.