Lineare Differentialgleichungen und die Exponentialabbildung

Zusammenfassung

In diesem kleinen Kapitel wollen wir eine erste Klasse von Anwendungen diskutieren, die in vielen Bereichen der Mathematik sowie in den Naturwissenschaften von zentraler Bedeutung ist: die Lösungstheorie linearer Differentialgleichungen. Selbstverständlich ist dies ein viel zu weites Feld, als dass man es in kurzer Zeit und mit geringem Aufwand angemessen vorstellen könnte. Unsere Darstellung bleibt daher notwendigerweise unvollständig und oberflächlich, zur Vertiefung sei auf die weiterführende Literatur wie beispielsweise (Hilgert and Neeb, Structure and geometry of Lie groups. Springer monographs in mathematics. Springer, Heidelberg/New York, 2012; Hall, Lie groups, Lie algebras, and representations. Volume 222 of graduate texts in mathematics. Springer, Berlin/Heidelberg/New York, 2003; Heuser, Gewöhnliche Differentialgleichungen, 2 Aufl. B. G. Teubner, Stuttgart, 1991) verwiesen. Es soll hier vielmehr dargelegt werden, wie diejenigen Techniken der linearen Algebra, die wir bisher entwickelt haben, eingesetzt werden können, um in anderen Bereichen der Mathematik weitreichende Aussagen treffen zu können. Als neues und wesentliches Hilfsmittel werden wir hierfür die Exponentialfunktion auf Matrizen ausdehnen und einige ihrer Eigenschaften studieren.