Zusammenfassung
Dem bereits mit der Quantenmechanik Vertrauten soll dieses Kapitel eine kurze Wiederholung bieten, die er rasch überfliegen und bei Gelegenheit wieder aufgreifen kann. Wer Quantenmechanik bislang aber eher als mathematische Pflichtübung verstanden hat, der wird das Kapitel vielleicht mit Gewinn lesen und sich so dem unverzichtbaren Instrumentarium nähern, ohne allzu große formale Hürden überwinden zu müssen. In den Abschn. 2.1–2.3 stellen wir ein Minimum an Formalismus zusammen.
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- 1.
Für Experten: Mit einiger intellektueller und experimenteller Anstrengung kann man wirklich sicherstellen, dass stets tatsächlich maximal nur ein Photon den Doppelspalt erreicht (vgl. z. B. den Übersichtsartikel zu Einzelphotonenquellen von Eisaman et al. 2011). Für die gegenwärtige Diskussion wollen wir aber zufrieden sein, wenn der mittlere zeitliche Abstand zweier Interferenzereignisse \(t_{\mathrm {av}}\) (registrierter Photonen) groß ist gegen die Kohärenzzeit \(\tau _{\mathrm {c}}=1/\Delta \omega \ll t_{\mathrm {av}}\) der Photonenquelle mit der Bandbreite \(\Delta \omega \) der Quelle.
- 2.
Allerdings ist die hier mit \(W=\hbar \omega \) eingeführte Kreisfrequenz \(\omega \) nicht als Beschreibung der zeitlichen Veränderung einer messbaren Größe zu verstehen; so verschiebt eine andere Festlegung des Energienullpunktes \(\omega \) entsprechend: Nur die Wahrscheinlichkeiten, nicht die Amplituden der Materiewelle beschreiben die Realität.
- 3.
Wir werden die Symbole \(\langle \mathrm {bra}|\) und \(|\mathrm {ket}\rangle \) relativ locker benutzen. Insbesondere werden wir oft Wellenfunktionen einfach als \(|\psi \rangle \), \(|\psi _{k}\rangle \), usw. schreiben.
- 4.
Um diese Relation zu verifizieren, expandiert man \(|\psi \rangle \) und \(|\phi \rangle \) einfach in eine Basis von Eigenvektoren (Eigenfunktionen) von \(\widehat{O}\).
- 5.
Mit geschweiften Klammern \(\{\dots \}\) bezeichnen wir hier (und im übrigen Buch) einen Satz von indizierten Größen, hier \(\left| f_{k}\right\rangle \) für \(0\le k\le \infty \) im Hilbert-Raum unter Einschluss des Kontinuums.
- 6.
Auch dies ist noch nicht der allgemeinste Fall. Oft hat man es mit sog. gemischten Zuständen zu tun, die nicht durch eine einzige lineare Superposition vom Typ (2.39) zu beschreiben sind. Wir werden hierfür in Band 2 die sog. Dichtematrix einführen.
- 7.
In Matrix-Darstellung entspricht dies der Einheitsmatrix
$$ \widehat{\mathbf {1}}=\left( \begin{array} [c]{c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c} 1 &{} 0 &{} \cdots &{} 0\\ 0 &{} 1 &{} \cdots &{} 0\\ \vdots &{} \vdots &{} \ddots &{} \vdots \\ 0 &{} 0 &{} \cdots &{} 1 \end{array} \right) $$ - 8.
Ein Hilbert-Raum ist eine Erweiterung des 3D-Vektorraums für unendliche Dimensionen – speziell in der Quantenmechanik zu einem unendlichdimensionalen Funktionsraum.
- 9.
z. B. Ort und Impuls, Energie und Zeit usw.
- 10.
Die Größe des Phasenraums mit Impulsen bis zu p ist \((4\pi /3)p^{3} L^{3}\). Wenn wir p durch die kinetische Energie W ausdrücken und durch \(h^{3}\) und \(L^{3}\) dividieren, ergibt sich die Anzahl der Phasenraumzellen pro Einheitsvolumen zu: \(N_{Z}=(4\pi /3)(2mW)^{3/2}/h^{3}\). Differenziation in Bezug auf W führt dann gerade zu (2.57).
- 11.
,Bahndrehimpuls‘, um z. B. vom Spindrehimpuls zu unterscheiden.
- 12.
Auch wenn diese Forderung nach Eindeutigkeit sehr plausibel ist und wesentlich allgemeiner als die von Bohr anhand des Vergleichs mit dem Experiment konstatierte Drehimpulsquantisierung, ist sie im strengen Sinne nicht begründbar und rechtfertigt sich nur durch experimentelle Belege. Entsprechende axiomatische Festlegungen müssen auch für den Radialteil der Wellenfunktion getroffen werden.
- 13.
Für hohe Genauigkeitsansprüche sind auch hier ggf. die Korrekturen für die endliche Masse des Atomkerns nach Abschn. 1.7.4 anzuwenden.
- 14.
Die Grenzen für \(\ell =0,1,\dots n-1\) verifiziert man mit dem Ausdruck für \(A_{n\ell }\) in (2.122).
- 15.
Auch hier ist für genauere Ansprüche wieder \(a_{0}\rightarrow \bar{a}_{0}=a_{0}m_{\mathrm {e}}/\bar{m}_{\mathrm {e}}\) zu ersetzen.
- 16.
In einem Medium mit dem Brechungsindex n ist c durch die Phasengeschwindigkeit \(v_{\mathrm {p}}=c/n\) zu ersetzen (siehe Abschn. 8.4 auf Seite 458). Da n dann auch von k bzw. \(\omega \) abhängen kann, wird auch die Dispersionsrelation nicht mehr (überall) linear sein.
Akronyme und Terminologie
AMO: ,Atome, Moleküle und Optische‘, Physik.
AO: ,Atomorbital‘, Wellenfunktion eines einzelnen Elektrons im Atom (in der Regel stationär); die AO’s aller Atomelektronen bilden eine typische Basis für Strukturrechnung.
a.u.: ,atomare Einheiten‘, siehe Abschn. 2.6.2 auf Seite 129.
BZ: ,Brillouin-Zone‘, repräsentiert alle Wellenvektoren der einfallenden Strahlung, die vom Kristallgitter Bragg-reflektiert werden können. Wichtiges Konzept der Festköperphysik.
chemisches Potenzial: ,In der statistischen Thermodynamik definiert als die Menge an Energie oder Arbeit, die notwendig ist, um die Zahl der Teilchen in einem System (um 1) zu ändern, ohne das Gleichgewicht des Systems zu stören.‘ (siehe \(\mu \) in Abschn. 1.3.3 auf S. 24.)
DOS: ,Zustandsdichte (engl. Density of states)‘, Zahl der Zustände für eine spezifizierte Observabel pro Einheit dieser Observablen. Meist ist die Observable die Energie der Teilchen im System, typischerweise gegeben pro Volumeneinheit des untersuchten Systems.
E1: ,Elektrischer Dipol-‘, Übergang, induziert durch die Wechselwirkung eines elektrischen Dipols (z. B. Elektron + Atomkern) mit der elektrischen Feldkomponente der elektromagnetischen Strahlung (Kap. 4).
gute Quantenzahl: ,Quantenzahl für Eigenwerte von solchen Observablen, die gleichzeitig mit dem Hamilton-Operator gemessen werden können (s. Abschn. 2.6.5)‘
GDGL: ,Gewöhnliche Differenzialgleichung‘.
NIR: ,Nahes Infrarot‘, Spektralbereich der elektromagnetischen Strahlung. Wellenlängenbereich zwischen 760 nm und 1.4 \(\upmu \)m nach (ISO 21348 2007).
NIST: ,National Institute of Standards and Technology‘, Standorte Gaithersburg (MD) und Boulder (CO), USA. http://www.nist.gov/index.html.
PDGL: ,Partielle Differenzialgleichung‘.
UV: ,Ultraviolett‘, Spektralbereich der elektromagnetischen Strahlung mit Wellenlängen zwischen 100 und 400 nm (nach ISO 21348 2007).
VIS: ,Sichtbar (engl. Visible)‘, Spektralbereich der elektromagnetischen Strahlung mit Wellenlängen zwischen 380 und 760 nm (nach ISO 21348 2007).
VUV: ,Vakuumultraviolett‘, Spektralbereich der elektromagnetischen Strahlung mit Wellenlängen zwischen 10 und 200 nm (nach ISO 21348 2007).
Literatur
Bohr, N.: 1920. ‘On the series spectra of elements’. Zeitschrift für Physik, 2, 423–469.
Born, M.: 1927. ‘Das Adiabatenprinzip in der Quantenmechanik’. Zeitschrift für Physik, 40, 167–192.
Born, M.: 1954. ‘Nobel-Preis in Physik: „for his fundamental research in quantum mechanics, especially for his statistical interpretation of the wave function“’, Stockholm. http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1954/.
de Broglie, L.-V.: 1923. ‘RADIATION – Waves and Quanta’. Comptes rendus, 177, 507–510.
Eisaman, M. D., J. Fan, A. Migdall und S. V. Polyakov: 2011. ‘Invited Review Article: Single-photon sources and detectors’. Rev. Sci. Instrum., 82, 071 101.
Heisenberg, W. K.: 1932. ‘Nobel-Preis in Physik: „in recognition of the great merits of his theoretical and experimental investigations on the conduction of electricity by gases“’, Stockholm. http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1932/.
ISO 21348: 2007. ‘Space environment (natural and artificial) – Process for determining solar irradiances’. Genf, Schweiz: Internationale Organisation für Normung.
NIST: 2014. ‘The 2014 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants’, Gaithersburg, MD 20899: NIST, National Institute of Standards and Technology. http://physics.nist.gov/cuu/Constants/, letzter Zugriff: 14.5.2016.
Schrödinger, E.: 1926. ‘Quantisierung als Eigenwertproblem I–IV’. Ann. Phys. - Berlin, 79–81, 361–376, 489–527, 734–756, 109–139.
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Hertel, I.V., Schulz, CP. (2017). Elemente der Quantenmechanik und das H-Atom. In: Atome, Moleküle und optische Physik 1. Springer-Lehrbuch. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-53104-4_2
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