Zusammenfassung
Nach der Einführung der Stabilitätsbegriffe für dynamische Systeme beschäftigt sich dieses Kapitels mit der Stabilität rückgeführter Systeme mit einem Schwerpunkt auf dem Nyquistkriterium. Eine Erweiterung dieses Kriteriums führt zu Methoden zur Überprüfung der robusten Stabilität bei Modellunbestimmtheiten.
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Literaturhinweise
Die klassischen Ergebnisse zur Stabilität dynamischer Systeme, auf die sich die Regelungstheorie noch heute bezieht, wurden u. a. 1860 von Routh, 1892 von Ljapunow und 1895 von Hurwitz in [96, 68, 46] veröffentlicht. Abschnitt 8.3 konzentriert sich auf das Hurwitzkriterium, weil dieses auch im Zeitalter der rechnergestützten Analyseprogramme noch häufig angewendet wird. In seiner Originalarbeit betrachtete Hurwitz das Polynom \( a_{0} \lambda^{n} + a{}_{1}\lambda^{n - 1} + \ldots + a_{n - 1} \lambda + a_{n} = 0, \) in dem eine andere Koeffizientennummerierung steht als in diesem Buch, aber dieselbe Matrix H. Die Gleichwertigkeit seines und des hier angegebenen Kriteriums kann man sich überlegen, wenn man λ in dem hier angegebenen Polynom durch \( \frac{1}{\mu } \) ersetzt und daraus ein Polynom in µ ableitet, in dem die Koeffizienten dann wie in diesem Buch nummeriert sind. Genau dann, wenn sämtliche Nullstellen des Polynoms in μ negativen Realteil haben, haben auch die Nullstellen des o. a. Polynoms negativen Realteil.
Ein zweites Kriterium, das von Routh und Hurwitz unabhängig voneinander angegeben und früher gleichberechtigt eingesetzt wurde, entsteht aus der Transformation der Hurwitzmatrix H in eine obere Dreiecksmatrix, wofür von Routh in [96] ein Tabellenverfahren beschrieben wurde.
Das Kriterium von NyquisT stammt aus dem Jahr 1932 [85]. Bereits 1928 hatte Küpfmüller in seiner Arbeit [60] zur Stabilität rückgekoppelter Filter ein ähnliches Kriterium angegeben. Eine gute Zusammenfassung des mathematischen Hintergrunds dieser Kriterien findet man in [37], neue Beweise der klassischen Ergebnisse beispielsweise in [30, 41]. Für eine ausführliche Erläuterung von Abb. 8.3 wird auf [52] verwiesen.
Die Beziehung (8.30) wurde von Hsu und Chen 1968 in [45] für Mehrgrößensysteme bewiesen.
Die robuste Stabilität von Regelkreisen ist in den letzten zwanzig Jahren ausführlich untersucht worden, wobei von unterschiedlichen Beschreibungsformen für die Modellunsicherheiten ausgegangen wurde. Eine Übersicht gibt [70], wo auch die Erweiterung der in diesem Kapitel angesprochenen Stabilitätsuntersuchungen auf die Abschätzung des E/A-Verhaltens des Regelkreises unter dem Einfluss von Modellunsicherheiten behandelt wird.
Eine Übersicht über die im Beispiel 8.8 angesprochene Stabilitätsanalyse digital vernetzter Regelungssysteme wird in [67, 74] gegeben.
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Lunze, J. (2016). Stabilität rückgekoppelter Systeme. In: Regelungstechnik 1. Springer Vieweg, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-52678-1_8
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-52678-1_8
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