Zusammenfassung
Nach einer Zusammenstellung der Beschreibungsformen für lineare Mehrgrößensysteme im Zeitbereich und im Frequenzbereich werden die Bewegungsgleichungen angegeben. Dann wird die Zerlegung der erzwungenen Bewegung in das Übergangsverhalten und das stationäre Verhalten in Analogie zu Eingrößensystemen eingeführt. Das Kapitel schließt mit einer Verallgemeinerung der Begriffe Pole und Nullstellen für Mehrgrößensysteme.
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Literaturhinweise
Die Zustandsraumdarstellung wurde Ende der fünfziger Jahre eingeführt, wobei die Veröffentlichungen von Kalman [50] und Nerode [95] als erste grundlegende Arbeiten zu diesem Thema gelten.
Die Behandlung von Mehrgrößensystemen im Frequenzbereich wurde in den siebziger Jahren u. a. durch Rosenbrock angeregt. Die nach ihm benannte Systemmatrix P(s) ist in seinem 1974 erschienenen Buch [117] ausführlich behandelt.
Um zweckmäßige Definitionen von Nullstellen eines Mehrgrößensystems hat es in den siebziger Jahren eine lange Diskussion gegeben, bei der einerseits mathematisch motivierte Definitionen, die sich auf die Smith-McMillan-Normalform [85] von G(s) bzw. P(s) beziehen, und andererseits regelungstechnisch motivierte Definitionen entstanden, die die Existenz von Nullstellen als eine das Übertragungsverhalten blockierende Eigenschaft in den Mittelpunkt stellten. Eine ausführliche Diskussion dieser unterschiedlichen Herangehensweisen kann in [84] nachgelesen werden. Die dort angegebenen und hier übernommenen Definitionen stehen allerdings im Einklang zu den etwa zur gleichen Zeit vorgeschlagenen Betriffen in [21]. Eine gute Übersicht über die Nullstellendefinitionen gibt auch [113].
Die P-kanonische und V-kanonische Darstellung von Mehrgrößensystemen wurde von Mesarovic in seinem 1960 erschienenen Buch [90] eingeführt. Dieses Buch ist eine der ersten Monografien, die sich mit Mehrgrößensystemen befassen.
Eine hier nicht verwendete Darstellungsform linearer Systeme im Frequenzbereich beruht auf der Verwendung von Polynommatrizen. Diese Darstellung umgeht die Schwierigkeit, mit Matrizen zu rechnen, deren Elemente gebrochen rationale Ausdrücke sind. Wesentlichen Anteil an der Entwicklung dieser Darstellungsform hat Wolovich, dessen 1974 erschienenes Buch [128] auch heute noch als Standardwerk zitiert wird und in dem interessierte Leser diese Darstellungsform nachlesen können.
Viele Aussagen über lineare Systeme sind unabhängig vom Koordinatensystem, das für den Zustandsraum zu Grunde gelegt wird. Diese Tatsache ist beispielsweise daran ersichtlich, dass die Eigenwerte und folglich wichtige dynamische Eigenschaften unabhängig von einer Zustandstransformation \( \mathop x\limits^{ \sim } (t) = T^{ - 1} x(t) \) sind. Der geometrische Zugang zur Systemtheorie verfolgt deshalb das Ziel, Aussagen über lineare Systeme ohne Bezug zu einer speziellen Auswahl von Zustandsvariablen zu formulieren. Diese Theorie wurde entscheidend durch Wonham initiiert und entwickelt. Als Standardwerk gilt sein 1974 erschienenes Buch [129].
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Lunze, J. (2016). Beschreibung und Verhalten von Mehrgrößensystemen. In: Regelungstechnik 2. Springer Vieweg, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-52676-7_2
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Online ISBN: 978-3-662-52676-7
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