Zusammenfassung
In diesem Kapitel widmen wir uns der numerischen Lösung der Black-Scholes-Gleichung. Entsprechend sei das Szenario vorausgesetzt, das durch die Annahmen 1.2 charakterisiert ist. Insbesondere genügt der Preis S des Underlyings als stochastischer Prozess einer geometrischen Brownschen Bewegung. Dann löst im Fall einer standard-europäischen Option deren Wertfunktion V(S, t) die Black-Scholes-Gleichung (1.5). Die Lösung dieser speziellen partiellen Differenzialgleichung ist nicht unser eigentliches Ziel, da es für sie die analytische Lösungsformel (1.10) gibt. Vielmehr sollen amerikanische Optionen berechnet werden, eventuell auch mit anderen Payoffs. Insoweit müssen die Annahmen 1.2 abgeschwächt werden. Es geht in diesem Kapitel nicht um die Berechnung einzelner Werte V(S 0, 0) – hierfür haben wir Baumverfahren –, sondern um die Berechnung von Flächen V(S, t) für den Halbstreifen S > 0, 0 ≤ t ≤ T. Aus diesen Flächen der Wertfunktion lassen sich auch wichtige Griechen berechnen.
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Notes
- 1.
Wegen Arbitrageargumenten fällt S t zum Zeitpunkt der Dividendenzahlung sprunghaft um den Betrag der Ausschüttung. Der Wert V(S, 0) kann allerdings in grober Näherung erhalten werden, wenn man die Dividendenzahlung in einen stetigen Ertrag umrechnet (s. Übung 4.1a).
- 2.
auch ,,vollimplizit“, denn es gibt auch andere implizite Methoden; in Englisch: BTCS, backward time centered space.
- 3.
- 4.
high contact oder smooth pasting.
- 5.
τ := inf{ t ∈ [0, T]∣V = Ψ } ist ein weiteres Beispiel für eine Stoppzeit.
- 6.
Illustrationen finden sich in Topic 9 der Topics for CF auf der Homepage www.compfin.de; dort ist auch die Payoff-Funktion p gezeigt.
- 7.
Zur Bezeichnung: In diesem Unterabschnitt haben x und y nicht die Bedeutung der Transformation von (4.3).
- 8.
Das setzt ein genügend großes Intervall voraus, S 1 < S f.
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Seydel, R.U. (2017). Finite Differenzen für Standardoptionen amerikanischen Typs. In: Einführung in die numerische Berechnung von Finanzderivaten. Springer-Lehrbuch. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-50299-0_4
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