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Elemente der Finanzmodellierung

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Einführung in die numerische Berechnung von Finanzderivaten

Part of the book series: Springer-Lehrbuch ((SLB))

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Zusammenfassung

Was verstehen wir unter einer Option? Eine Option ist ein Vertrag, der seinem Besitzer das Recht einräumt, einen zugrundeliegenden Basiswert zu einem festgelegten Preis zu kaufen oder zu verkaufen. Der zur Option gehörende Basiswert oder Underlying ist beispielsweise eine Aktie oder ein Bündel von Aktien eines Unternehmens. Andere Beispiele von Basiswerten sind ein Aktienindex (wie der DAX) oder eine Währung. Da die Optionen vom jeweils zugrundeliegenden Basiswert abgeleitet sind, heißen sie auch Derivate (s. Anhang A1). Die Akteure in der Optionsarena sind der Stillhalter (engl. writer), der die Option emittiert und ihre Ausstattung festlegt, und der Anleger, der die Option kauft und dann als Inhaber (holder) je nach Marktlage Entscheidungen treffen muss.

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Notes

  1. 1.

    Die Etiketten ,,europäisch“ oder ,,amerikanisch“ haben keine geografischen Bedeutungen; beide Arten von Optionen werden überall gehandelt.

  2. 2.

    Grundannahme: Der Investor will stets seinen Profit maximieren.

  3. 3.

    Dem bei Insidern üblichen Sprachgebrauch entsprechend, verwenden wir nicht nur die Begriffe Call und Put wie deutsche Wörter, sondern auch die Begriffe Strike, Asset, Payoff und Underlying.

  4. 4.

    Da auch Merton wichtige Beiträge zu diesem Modell und seiner Theorie geleistet hat, wird das Modell (nicht die Gleichung) gelegentlich auch Modell von Black, Merton und Scholes genannt.

  5. 5.

    Denn in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum mit Wahrscheinlichkeit P gilt \( \mathsf {E}_{\mathsf {P}}[X]=\sum \nolimits_{i=1}^n x_i \, \mathsf {P}(X=x_i)\, ,\) wobei X eine Zufallsvariable ist (s. Anhang A2).

  6. 6.

    Was sind die Arbitragestrategien für d ≥erT oder erT ≥ u ?

  7. 7.

    Allerdings gilt das Black-Scholes-Modell für weit aus dem Geld liegende Optionen ohnehin als fragwürdig, und (1.10) sollte dann eher nicht verwendet werden.

  8. 8.

    Das Symbol Δt (analog später ΔS, ΔW, …) bezeichnet hier ein kleines Inkrement in t, ähnlich wie dt ein Symbol ist.

  9. 9.

    R steht für Romberg-Integration, die Verbesserung der Trapezsummen durch Extrapolation. Zum Beispiel verwendet R4-16 die Zwischenergebnisse TS-4 und TS-8, die bei TS-16 entstehen. Der Leser möge sich die erwähnten Steigungen in Abb. 1.8 veranschaulichen. Weitere Erklärungen in Topic 10 der Topics for CF.

  10. 10.

    Fortsetzen im Sinne von Behalten (continuation) als Gegensatz zum Ausüben. Abgesehen von der Alternative Ausüben/Fortsetzen kann die Option jederzeit verkauft werden.

  11. 11.

    Für diese europäische Option ist natürlich die analytische Formel (1.10) angemessener. Die Baummethode soll hier nur im Vergleich zeigen, was sie kann. Auch erfordert die Praxis im Allgemeinen nicht so viele berechnete Stellen.

  12. 12.

    Diese Annahme zusammen mit der Annahme einer augenblicklichen Reaktion des Marktes auf ankommende Informationen heißt ,,Hypothese des effizienten Marktes“.

  13. 13.

    GBM: Geometric Brownian Motion

  14. 14.

    Die Voraussetzungen sind zumindest für konstante γ erfüllt. Für eine Diskussion der Klasse der zulässigen γ siehe zum Beispiel [118].

  15. 15.

    T.h.O. steht für Terme höherer Ordnung.

  16. 16.

    Siehe auch Satz 2.9.

  17. 17.

    Subtraktion von in etwa gleich großen Zahlen

  18. 18.

    Für weitere Daten sei auf www.compfin.de verwiesen.

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  1. Mathematisches Institut, Universität zu Köln, Köln, Deutschland

    Rüdiger U. Seydel

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  1. Rüdiger U. Seydel
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Seydel, R.U. (2017). Elemente der Finanzmodellierung. In: Einführung in die numerische Berechnung von Finanzderivaten. Springer-Lehrbuch. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-50299-0_1

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