Integralrechnung

Zusammenfassung

Integrale sind nicht nur zur Bestimmung von Strecken, Flächen und Volumen oder zur Lösung von Differenzialgleichungen von Bedeutung. Viele Naturgesetze werden am einfachsten durch Integrale und Integralgleichungen ausgedrückt. Integrale dienen zur Definition von statistischen Mittelwerten. Die Probleme bei der mathematisch korrekten Formulierung von Integralen über kompliziertere Räume, als es die reellen Zahlen sind, sind heute das wesentlichste Hindernis auf dem Weg zu einer zufrieden stellenden Formulierung der relativistischen Quantentheorie der Elementarteilchen.

Die bekannteste und einfachste Definition des Integrals ist die mit Hilfe der so genannten Stammfunktion als Umkehrung des Vorgangs der Differenziation.

Ausgehend von einer Stammfunktion, ihrer Ableitung und ihrem totalen Differenzial, definiert man das unbestimmte Integral als Umkehrung der Differenziation,

$$\int dF(x)=\int dx\;{dF(x)\over dx}=\int dx\;f(x)=F(x)+\alpha\;,\quad{}\textrm{mit}\quad{dF(x)\over dx}=f(x)\;.$$

(5.1)

Wir wählen diese Schreibweise (dem Integralzeichen folgt das Differential unmittelbar) um die Operatoreigenschaft des Integrals zu betonen. Die Funktion $f(x)$ unter dem Integralzeichen wird Integrand genannt. Die so genannte Integrationskonstante α ist eine unbestimmte Konstante, die notwendig wird, da Funktionen, die sich nur um additive Konstanten unterscheiden, die gleiche Ableitung und das gleiche totale Differenzial $d(F(x)+\alpha)=dF(x)$ haben.