Gruppen

Zusammenfassung

Wir verlassen uns darauf, dass (zumindest) Naturgesetze morgen genauso gültig sind wie heute. Diese Eigenschaft ist eine Symmetrieeigenschaft, eine Invarianz der Naturgesetze unter einer Verschiebung der Zeit. Ähnliches gilt für Verschiebungen des Koordinatenursprungs, sofern nicht eine ausdrückliche Ortsabhängigkeit gegeben ist: Die Stärke der Schwerkraft auf der Erde ist von der am Mond verschieden, das Gravitationsgesetz aber ist dasselbe. Ein Experiment in Graz sollte dasselbe Ergebnis wie eines in Aachen liefern, wenn die ortsabhängigen Parameter vernachlässigbar sind oder geeignet berücksichtigt wurden. All diese Symmetrien kann man durch mathematische Gruppen beschreiben. Die besprochenen Verschiebungen und Drehungen sind dabei die Symmetrieoperationen oder Gruppenelemente.

Einfache Beispiele für Gruppen sind:Abstrakt formuliert: Eine Gruppe G ist eine (nichtleere) Menge von Elementen, für die eine Verknüpfung mit bestimmten Eigenschaften definiert ist. Gruppen können also Objekte enthalten, deren mathematische Darstellung oft nicht sofort klar ist. Die Drehungen eines Würfels um seine Symmetrieachsen sind Elemente einer Gruppe, ebenso wie die Vertauschung der Reihenfolge einer Menge von unterschiedlichen Objekten.