Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

Die allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung

$$a\,z^{2}+b\,z+c=0$$

(2.1)

für die Unbekannte z ist

$$z=-{b\over 2a}\pm{1\over 2a}\sqrt{b^{2}-4ac}\quad;$$

(2.2)

dabei wird der Ausdruck $d=b^{2}-4ac$ Diskriminante genannt. Das heißt, die Menge der Werte für die Unbekannte z, welche die Gleichung erfüllen, besteht entweder aus einer reellen Zahl (wenn d = 0) oder aus einem Paar von zwei reellen Zahlen (wenn d > 0). Wenn allerdings die Diskriminante negativ wird, können wir im Raum der uns bisher bekannten reellen Zahlen keine Lösung finden. Um dennoch zwei Lösungen angeben zu können, erweitert man diesen Zahlenraum.

Man führt dazu eine neue Art von Zahl ein und nennt sie imaginäre Einheit

$$\mathrm{i}\quad\mbox{mit der Definition}\;\mathrm{i}^{2}\equiv-1\;.$$

(2.3)

Man kann $\mathrm{i}$ in gewissem Sinn als die Wurzel $+\sqrt{-1}$ betrachten oder sagen, $\sqrt{-1}$ wird durch $\mathrm{i}$ definiert; diese Form soll man aber vermeiden, um Missverständnissen vorzubeugen.