Funktionale und Variationsrechnung

Zusammenfassung

Das Integral über eine Funktion, mit dem man vielleicht eine Fläche oder Masse berechnet, aber auch die Norm einer Funktion oder das Skalarprodukt mit einer Funktion sind Beispiele für ein Funktional. Allgemein betrachtet ist ein Funktional eine Abbildung aus einem Funktionenraum in die reellen oder komplexen Zahlen,

$$\Phi:\,f\in\mathbb{X}\,\mapsto\,\Phi[f]\in\mathbb{C}\;,$$

(15.1)

also gleichsam eine Funktion auf dem Funktionenraum, wie es eben auch Funktionen auf den reellen Zahlen gibt, eine verallgemeinerte Funktion. Ein Beispiel für ein Funktional auf dem $L^{2}(\mathbb{R})$ ist – wie schon erwähnt – ein Skalarprodukt wie etwa

$$\Phi[f]=\int_{\mathbb{R}}dx\;u(x)\,f(x)\;,$$

(15.2)

wobei u eine feste Funktion aus L ² ist.

Man muss dabei betonen, dass nicht ein Funktionswert, sondern die gesamte Funktion f das Argument des Funktionals ist. Um diesen Unterschied klarzumachen, verwendet man die eckigen Klammern. Wenn

$$\Phi[\alpha\,f+\beta\,g]=\alpha\,\Phi[f]+\beta\,\Phi[g]$$

(15.3)

gilt, ist Φ ein lineares Funktional. Spezielle Funktionale sind die so genannten Distributionen wie etwa die Delta-Distribution, die im Abschn. 15.3 besprochen wird.