Multipolentwicklung in kartesischen Koordinaten

Zusammenfassung

In Kap. 1 haben wir eine allgemeine Lösung des elektrostatischen Problems, zu einer gegebenen statischen Ladungsverteilung das Potenzial (und über Gradientenbildung auch das elektrische Feld) zu berechnen, gesehen: Das Lösen der Poisson-Gleichung (1.10) kann auf die Berechnung des Integrals (1.12) zurückgeführt werden.

Allerdings kann dieses Integral nur in wenigen Spezialfällen analytisch ausgewertet werden (vgl. dazu auch Aufgabe 1.5). In praktisch allen „interessanten“, sprich: realitätsnahen, Beispielen muss man sich mit Näherungslösungen zufrieden geben – wie in der theoretischen Physik allgemein üblich …

Ein wichtiges Standardnäherungsverfahren der Elektrostatik ist die sogenannte Multipolentwicklung. Warum die so heißt, wird im Laufe dieses Kapitels halbwegs klar werden; so richtig geklärt wird das aber erst in Abschn. 8.1. Neben einem näherungsweise gültigen Ausdruck für das Potenzial werden wir damit auch Näherungen für die Energie einer Ladungsverteilung sowie die Kraft und das Drehmoment darauf gewinnen.