Zusammenfassung
Dieses Kapitel ist der Differential- und Integralrechnung gewidmet, die eng mit der Entwicklung der Mathematik und der Naturwissenschaften verbunden ist. Wir beginnen mit der Beschreibung von diskreten Prozessen durch Zahlenfolgen und Differenzengleichungen, erklären den Grenzwert von Folgen und Funktionen und gehen im Besonderen auf den Differentialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten ein. Nach Darlegung der grundlegenden Regeln für das Differenzieren werden die erste Ableitung und höhere Ableitungen verwendet, um markante Eigenschaften von Funktionen zu erfassen, Funktionen durch Polynome zu approximieren und Extremwerte zu bestimmen. Über die Berechnung von Flächeninhalten durch numerische Integration gelangen wir zum Begriff des bestimmten Integrals und mit Hilfe des Begriffs der Stammfunktion zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Im letzten Abschnitt wird gezeigt, wie man einfache Systeme und Prozesse durch Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung modelliert und die Lösungsfunktionen bestimmt. Das Kapitel schließt mit einer kurzen Behandlung von numerischen Lösungsverfahren und einer qualitativen Diskussion von nichtlinearen Differentialgleichungen.
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Notes
- 1.
Die Wurzeln der Differential- und Integralrechnung liegen in der Geometrie und der Physik. Es war einerseits eine geometrische Fragestellung, die Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) zum Begriff des Differentialquotienten führte. Und es war andererseits Isaac Newton (1643–1727), der mit dem Begriff der Ableitung seine Mechanik auf eine mathematische Grundlage stellte.
- 2.
1766–1834, englischer Nationalökonom. Malthus beschäftigte sich in seinem „Essay on the Principle of Population“ u. a. mit der Überbevölkerung (vgl: http://www.gutenberg.org/ebooks/4239).
- 3.
Durch die Logarithmusoperation wird die Größer-Beziehung nicht verändert, da für zwei beliebige reelle Zahlen a > 1 und b > 1 aus \(b> a\) stets \(\ln{b}> \ln{a}\) folgt.
- 4.
Man bezeichnet die Summe \(1+q+\cdots+q^{n-1}\) auch als eine geometrische Reihe. Die Gültigkeit der Summenformel folgt unmittelbar aus \(s_{n}(1-q)=(1+q+\cdots+q^{n-1})(1-q)=1-q^{n}\).
- 5.
Die linke Seite wird gelesen als „Limes von y n für n gegen Unendlich“. Eine Folge mit dem Grenzwert null wird auch als Nullfolge bezeichnet. Der moderne Grenzwertbegriff geht auf den französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) zurück.
- 6.
Leonardo Fibonacci, 1170–1240. Sein Rechenbuch „Liber abbaci“ enthält u. a. das erwähnte „Kaninchenproblem“. Den Orginaltext (in lateinischer Sprache) findet man z. B. auf http://reader.digitale-sammlungen.de/de/fs1/object/display/bsb10525679_00257.html, eine kurze Übersicht über das Werk auf https://www.math.ethz.ch/fibonacci/VirtuellerBesuch/10.
- 7.
Das Symbol o wird nach dem deutschen Mathematiker Edmund Landau (1877–1938) auch als Landausches Ordnungssymbol bezeichnet.
- 8.
In manchen Texten wird der Differentialquotient \(\frac{dy}{dt}\), also die momentane Änderung einer Größe y pro Zeiteinheit, als „Änderungsrate“ bezeichnet. Wir halten uns hier an die Begriffsdefinition, wie sie in der Populationsbiologie und Demographie üblich ist, und verstehen unter Rate die auf die Wachstumsgröße bezogene Änderung pro Zeiteinheit.
- 9.
Benannt nach dem deutschen Physiologen Adolf Fick, 1829–1901. Das Ficksche Gesetz bildet zusammen mit der Kontinuitätsgleichung, die die Erhaltung der Masse ausdrückt, die Grundlage für die mathematische Beschreibung von Diffusionsprozessen.
- 10.
Vgl. Laird, A. K.: Dynamics of Tumor Growth. British Journal of Cancer 18, 490–502 (1964). Die Funktion ist nach dem englischen Mathematiker Benjamin Gompertz (1779–1865) benannt.
- 11.
Vgl. Kermack, W.O, McKendrick, A.G.: Contribution to the mathematical theory of epidemics. Proc. Roy. Soc. London A 118, 700-721 (1927)
- 12.
In der Literatur findet man auch die Bezeichnung Newton-Raphson-Verfahren. Isaac Newton (1643–1727) ist einer der bedeutendsten Mathematiker und Physiker; als sein Hauptwerk gilt die in Latein verfasste „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ (https://ia700809.us.archive.org/28/items/philosophiaenat00newt/philosophiaenat00newt.pdf). J. Raphson (1648–1715) wirkte wie Newton als Mathematiker in England.
- 13.
Vgl. North, G.R.: Introduction to simple climate models. In Diaz, J.I., Lions, J.L. (Hrsg.): Mathematics, Climate and Environment. Mason, Paris (1993)
- 14.
Der tatsächliche Wert der mittleren Temperatur der Erdoberfläche liegt bei 15\({}^{\circ}\)C.
- 15.
Die Ausgabe enthält den Näherungswert für die Nullstelle ($root), den Wert der Funktion für den Näherungswert ($f.root), die Anzahl der Iterationen ($iter) sowie ein Maß für die Genauigkeit des Näherungswertes ($estim.prec).
- 16.
Brook Taylor, 1685–1731, englischer Mathematiker
- 17.
Joseph-Louis Lagrange, 1736–1813, italienischer Mathematiker und Physiker, der in Turin, Berlin und Paris wirkte. Er gilt als Begründer der analytischen Mechanik und trug mit zahlreichen Beiträgen auch wesentlich zur Entwicklung der Analysis bei.
- 18.
Wegen der Monotonie der Logarithmusfunktion ist jede lokale Maximumstelle von \(y=\ln{L}\) auch eine von L und umgekehrt.
- 19.
Der französische Mathematiker Guillaume de L’Hospital (1661–1704) schrieb eines der ersten Bücher über die Differentialrechnung, in dem auch die nach ihm benannte Regel vorkommt.
- 20.
Johannes Kepler (1571–1630) wirkte als Astronom und Mathematiker in Graz, Prag und Linz. Die (in lateinischer Sprache verfasste) Arbeit über die Fassregel kann unter http://www.e-rara.ch/zut/content/titleinfo/3298814 nachgelesen werden. Die Regel wird gelegentlich auch nach dem englischen Mathematiker Thomas Simpson (1710–1761) benannt.
- 21.
- 22.
Vgl. Jorgensen, S.E.: Fundamentals of Ecological Modelling. Elsevier, Amsterdam (1988).
- 23.
Ein Einblick in diese Thematik wird in den Ergänzungen (Abschn. 4.6.4) gegeben.
- 24.
Bernoulli, D.: Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite Vérole, et des avantages de l’Inoculation pour la prévenir. Mém. Math. Phys. Acad. Roy. Sci. 1 (1766).
- 25.
Alfred Lotka (1880–1949, österreichisch-amerikanischer Chemiker und Demograph) und Vito Volterra (1880–1940, italienischer Mathematiker) haben durch ihre mathematischen Arbeiten wesentlich zur Entwicklung der Populationsdynamik beigetragen.
- 26.
Auch im Falle \(C_{1}-C_{2}\alpha_{12}<0\) und \(C_{2}-C_{1}\alpha_{21}<0\) sind die Lösungen (4.46) positiv. Dieser Fall wird hier nicht weiter betrachtet.
- 27.
Bei der Berechnung von a 11 und a 22 beachte man, dass die Gleichgewichtswerte \(x_{1}^{*}\) und \(x_{2}^{*}\) Lösungen der Gleichungen \(x_{1}^{*}+\alpha_{12}x_{2}^{*}=C_{1}\) und \(\alpha_{21}x_{1}^{*}+x_{2}^{*}=C_{2}\) sind.
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Timischl, W. (2016). Differenzieren und Integrieren. In: Mathematische Methoden in den Biowissenschaften . Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48952-9_4
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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