Algebraische Varietäten

Zusammenfassung

Im Vergleich zu Mannigfaltigkeiten sind algebraische Varietäten schon lokal sehr vielfältig. Ein möglicher Startpunkt für den Einstieg in die Theorie der algebraischen Varietäten ist der Vergleich mit den Untermannigfaltigkeiten in $\mathbb{R}^{n}$ oder $\mathbb{C}^{n}$. Beispiele solcher Untermannigfaltigkeiten haben wir als Nullstellenmengen von differenzierbaren Funktionen gewonnen, deren Ableitung auf der Nullstellenmenge überall von Null verschieden ist. Wenn man statt differenzierbarer Funktionen Polynomfunktionen betrachtet, kann man solche Nullstellenmengen auch für andere Körper betrachten. Das „algebraisch“ in algebraische Varietäten bezieht sich darauf, dass die betrachteten Funktionen polynomialen Charakter haben. Weil diese Funktionen einfacher sind als beliebige differenzierbare Funktionen, unternimmt man in diesem Kontext sofort den Versuch, auch etwas über Nullstellenmengen von Funktionen zu sagen, deren (formale) Ableitungen keine extra Regularitätsbedingungen erfüllen. Damit lässt man lokale Singularitäten zu, die sehr unterschiedlich aussehen können. Während also die lokale Theorie von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten darin besteht, die Differenzialrechnung auf offenen Stücken von $\mathbb{R}^{n}$ oder $\mathbb{C}^{n}$ zu studieren, besteht die lokale Theorie der algebraischen Varietäten darin, Nullstellenmengen von Polynomfunktionen auf $\mathbb{K}^{n}$ für allgemeine Körper $\mathbb{K}$ zu studieren und Funktionen zwischen solchen Mengen zu betrachten, die in einer vernünftigen Art und Weise als polynomial betrachtet werden können.