Garben

Zusammenfassung

Garben sind Strukturen auf topologischen Räumen, die man durch Vorgabe von lokalen Daten beschreiben kann. Dabei sollte man sich lokale Daten als Objekte vorstellen, die man offenen Teilmengen zuordnet, zum Beispiel die Menge aller stetigen Funktionen, die auf der offenen Teilmenge definiert sind. Damit man bei einer solchen Zuordnung von lokalen Daten sprechen kann, sollten die Objekte, die zwei offenen Mengen zugeordnet sind, miteinander verträglich sein, wenn die offenen Mengen sich schneiden. Für die stetigen Funktionen äußert sich das zum Beispiel dadurch, dass die Einschränkungen von stetigen Funktion auf die Schnittmenge ebenfalls stetig sind. Eine Präzisierung dieser Idee ist das Konzept der Prägarbe, das wir in Abschnitt 5.1 näher untersuchen. Eine wahrhaft lokale Struktur hat man aber erst, wenn es schon ausreicht, verträgliche lokale Daten vorzugeben, und dann garantiert ist, dass sie von einem eindeutig bestimmten globalen Objekt kommen, so wie das im Falle von stetigen oder differenzierbaren Funktionen ist. Präzisiert man diese Zusatzbedingung an Prägarben, landet man beim Konzept einer Garbe.