Axiomatische Grundlagen

Zusammenfassung

Der Beweis einer mathematischen Aussage besteht darin, dass man sie mithilfe logischer Schlüsse auf bereits bewiesene Aussagen zurückführt. Dabei stößt man schließlich auf „grundlegende“ Aussagen, die man ohne Beweis zu akzeptieren bereit ist. Begriffe der Mathematik definiert man mithilfe anderer bereits zuvor definierter Begriffe, wobei man ebenfalls schließlich auf „grundlegende“ Begriffe stößt, die man nicht definiert hat. Diese „undefinierten Grundbegriffe“ treten in der Regel gemeinsam mit „unbewiesenen Grundaussagen“ auf. Jede mathematische Theorie basiert somit auf einem System von undefinierten Grundbegriffen und unbewiesenen Grundaussagen; die Aussagen der Theorie sind also nur „relativ“ wahr. Konkret: Sie sind wahr bezüglich des genannten Systems von Grundbegriffen und Grundaussagen. Dieses Fundament einer mathematischen Theorie müsste man stets genau beschreiben, auch wenn es nur auf einem „allgemeinen Konsens“ beruht, denn Unklarheiten bezüglich dieses Fundaments können zu Paradoxien (scheinbaren Widersprüchen) führen. Von besonderer Bedeutung wird dieses Fundament, wenn man Methoden der automatischen Informationsverarbeitung für mathematische Zwecke nutzen möchte.