Isolatoren im elektrischen Feld

Zusammenfassung

Ein elektrisches Feld wird nicht nur von Leitern beeinflusst, sondern auch von Isolatoren. Diese auf den ersten Blick erstaunliche Tatsache hängt damit zusammen, dass auch Isolatoren elektrische Ladungen enthalten, die allerdings nicht frei beweglich, sondern in den Atomen und Molekülen gebunden sind: die positiv geladenen Atomkerne und die negativen Atomhüllen. Diese Ladungen können sich unter dem Einfluss eines äußeren elektrischen Feldes ein wenig gegeneinander verschieben. Dadurch entsteht eine dielektrische Polarisation, die das äußere Feld verändert. Man nennt einen Isolator im elektrischen Feld auch ein Dielektrikum.

Wir werden in diesem Kapitel zunächst untersuchen, wie sich die dielektrischen Eigenschaften beschreiben lassen, ohne dass von Atomen und Molekülen die Rede ist (makroskopische Beschreibung). Sodann werden wir die atomphysikalischen Ursachen der dielektrischen Polarisation diskutieren (mikroskopische Beschreibung). Neben der schon erwähnten Verschiebungspolarisation gibt es auch noch die Orientierungspolarisation, die durch Ausrichtung von molekularen Dipolmomenten unter dem Einfluss der äußeren Felder zustande kommt. Im Anschluss daran betrachten wir einige Dielektrika, die besondere Eigenschaften zeigen: Ferroelektrizität und Piezoelektrizität. Sie sind sowohl physikalisch interessant als auch für die Technik von großer Bedeutung. Zum Schluss führen wir als zweites elektrisches Feld die elektrische Verschiebung $\vec{D}$ ein und diskutieren ihre Bedeutung und ihre Eigenschaften.

Aufgaben

4.1 Kapazität eines Koaxialkabels.

Wie groß ist die Kapazität eines 10 m langen Koaxialkabels, dessen Innenleiter einen Radius $r_{\text{i}}=0{,}5$ mm und dessen Außenleiter einen Radius $r_{\text{a}}=5$ mm besitzt und das mit einem Material mit der Dielektrizitätskonstanten $\epsilon=2$ ausgefüllt ist?

4.2 Die Ladung als Quelle des Feldes $\vec{D}$.

a) Ein Dielektrikum besitze eine ebene Oberfläche und sei unendlich ausgedehnt. Direkt auf seiner Oberfläche befinde sich eine Punktladung q. Wie groß ist das elektrische Feld innerhalb und außerhalb des Dielektrikums nach Betrag und Richtung als Funktion des Ortes $\vec{r}$?

b) Das Dielektrikum sei halbkugelförmig mit dem Radius R und die Ladung q befinde sich auf der Oberfläche im Kugelmittelpunkt. Wie groß ist das elektrische Feld innerhalb und außerhalb des Dielektrikums nach Betrag und Richtung in den Grenzfällen $|\vec{r}|\ll R$ und $|\vec{r}|\gg R$? Was lässt sich ohne Rechnung darüber sagen, wie der Feldlinienverlauf zwischen den beiden Grenzfällen ist? Welcher Prozentsatz der Feldlinien kreuzt die Ebene, die den ebenen Teil der Halbkugeloberfläche enthält?

4.3 Kapazitäten in Parallel- und Serienschaltung.

Im Inneren eines Plattenkondensators befindet sich ein zylindrisches Glasgefäß, das die gesamte Innenhöhe d des Kondensators ausfüllt, aber nicht die gesamte Fläche. Wenn das Gefäß leer ist, wird eine bestimmte Kapazität C ₀ gemessen. (In C ₀ gehen u. a. der Radius des Kondensators und die Wanddicke des Gefäßes ein, beide werden aber bei der Lösung nicht benötigt.)

a) Das Gefäß wird bis zum oberen Rand mit Wasser gefüllt. Um wieviel ändert sich die Kapazität des Kondensators, wenn man folgende Daten zugrunde legt: d = 2 cm, Innenradius des Gefäßes $r_{\text{i}}=5$ cm, Bodendicke des Gefäßes s = 2 mm, Dielektrizitätskonstante des Glases $\epsilon_{G}=5$?

b) Es sei $C_{0}=10$ pF. Der mit Wasser gefüllte Kondensator werde aufgeladen. Welcher Prozentsatz der Ladung Q befindet sich am Wassergefäß und welcher Prozentsatz ist über den Rest des Kondensators verteilt?

c) Wie in Abschn. 3.4 ausgeführt wurde, ist Gl. (4.3) wegen der Feldinhomogenität am Kondensatorrand oft mit einem beträchtlichen systematischen Fehler behaftet. Ist dies für das Resultat von Teil a) auch zu erwarten?

4.4 Atomabstand und Clausius-Mossottische Formel.

Um wieviele Atomradien müssen Ar-, Kr- oder Xe-Atome im Mittel mindestens voneinander entfernt sein, wenn die einfache Formel (4.21) für die Suszeptibilität dieser Edelgase auf 5 % genau sein soll? Mit den Messwerten von α aus Tab. 4.3 kann man z. B. für Argon den Maximaldruck bei Zimmertemperatur ($T\approx 300$ K) ermitteln, bei dem dies gerade noch der Fall ist. Was kann man über den Aggregatzustand des Argon bei diesen Bedingungen sagen (siehe Bd. II/11.1)?

4.5 Permanentes elektrisches Dipolmoment von Methylchlorid.

Leiten Sie aus Abb. 4.7 das permanente elektrische Dipolmoment des CH${}_{3}$Cl-Moleküls ab. Muss man die in dem Diagramm aufgetragenen Werte von α noch „auf Dichte Null“ extrapolieren oder ist diese Korrektur bereits angebracht?

4.6 Der leitende Zylinder im homogenen elektrischen Feld.

a) Wiederholen Sie die Überlegungen, die zur Herleitung von Gl. (3.16) bis (3.19) geführt haben, für einen unendlich langen leitenden Zylinder, der sich mitten zwischen zwei parallelen, weit voneinander entfernten Linienladungen $\pm\lambda_{q}$ befindet. Das Dipolmoment p ist hier durch ein Dipolmoment $p_{\lambda}$ pro Länge zu ersetzen. Das zugehörige Potential ist

$$\phi=\frac{p_{\lambda}}{2\pi\epsilon_{0}}\,\frac{z}{r^{2}}\;.$$

Wie erhält man es aus dem Potential der Linienladung? Wie lauten die Analoga zu den Gleichungen (3.16) bis (3.19)? (Die Angaben zur Spiegelladung findet man in Aufg. 3.4).

b) Warum ist der Depolarisationsfaktor für einen langen Zylinder mit einem Feld senkrecht zur Achse (Tab. 4.2) gleich 1/2 ?

4.7 Dielektrische Kugel im Kondensator.

Eine dielektrische Kugel mit dem Radius R und der Dielektrizitätskonstanten $\epsilon=2$ befinde sich zwischen den Platten eines Plattenkondensators. Die Entfernung der Kugel von den Platten sei so groß, dass an den Plattenoberflächen ein homogenes elektrisches Feld E ₀ herrscht. Wie groß ist das elektrische Feld E innerhalb der Kugel? Welchen Radius r hat der Kreis auf den Kondensatorplatten, von dem aus die elektrischen Feldlinien gerade den Äquator der Kugel erreichen? Unter welchem Winkel treffen diese Feldlinien auf die Kugeloberfläche?