Elektrische Felder im Vakuum bei vorgegebener Ladungsverteilung

Zusammenfassung

Wir haben nun verschiedene Methoden in der Hand, um das elektrische Feld zu berechnen, wenn bekannt ist, wie die felderzeugenden Ladungen im Raume verteilt sind. Sie sind in Tab. 2.1 zusammengestellt. Im obersten Teil stehen die Formeln, die sich unmittelbar aus dem Coulombschen Gesetz und dem Superpositionsprinzip ergeben, im mittleren Teil, darauf aufbauend, die Formeln für das Potential und im untersten Teil die Grundgleichungen der Elektrostatik. Die Gleichungen sind sowohl für den Fall diskreter Punktladungen q _i als auch für den Fall einer kontinuierlichen Ladungsverteilung angegeben. Die Definition der in Tab. 2.1 verwendeten Vektoren wurde in Abb. Abb. 1.9 gegeben. Sie ist in Abb. 2.1 nochmals gezeigt.

Wir werden zunächst die direkte Anwendung des Coulombschen Gesetzes erläutern und dann einige Beispiele zur Anwendung des Gaußschen Gesetzes behandeln. Sie beschränken sich auf Ladungsverteilungen hoher Symmetrie, sind aber gerade deshalb auch von praktischer Bedeutung. Eine andere Klasse von Ladungsverteilungen und Feldern baut auf dem Konzept und den Feldern des elektrischen Dipols auf; das wird im dritten Abschnitt diskutiert. Dort werden wir zunächst die Potentialfelder berechnen und dann aus ihnen die Feldstärke $\vec{E}(\vec{r})$ ableiten.

Aufgaben

2.1 Elektrisches Feld und elektrischer Fluss zweier Punktladungen.

Auf der z-Achse eines Kartesischen Koordinatensystems befinden sich an den Stellen $z=+a$ und $z=-a$ zwei Punktladungen vom Betrag q mit (1) gleichem, (2) entgegengesetztem Vorzeichen.

a) Wie groß sind die elektrischen Flüsse durch eine Kugel, deren Radius R beliebig gewählt wird, wenn sich der Kugelmittelpunkt bei $z=a$ befindet?

b) Wie groß ist der elektrische Fluss durch die $(x,y)$-Ebene?

c) Wie groß sind die Komponenten des elektrischen Feldes in der $(x,y)$-Ebene? Vergleichen Sie das Resultat mit Gl. (2.21). Wie groß muss der Abstand r vom Ursprung mindestens sein, damit die Abweichung zwischen beiden Formeln, in Einheiten der Strecke a, weniger als 10 % beträgt?

2.2 Potential homogen geladener Körper.

a) Berechnen Sie das Potential einer homogen geladenen Kugel mit der Ladung Q und dem Radius R als Funktion des Abstands r vom Kugelmittelpunkt.

b) Führen Sie die gleiche Rechnung für einen unendlich langen homogen geladenen Zylinder mit der Ladung pro Länge $\lambda_{q}$ durch. Wie groß ist das Feld im Zylinderinneren? Das Potential auf der Zylinderachse sei Null.

2.3 Multipolmomente zweier Punktladungen.

Zwei Punktladungen q ₁ und q ₂ mit den Massen m ₁ und m ₂ befinden sich im Abstand d voneinander.

a) Wie lautet die Gleichung für das elektrische Dipolmoment? Spezialfälle: (1) $q_{1}=-q_{2}$ („Prototyp“ des Dipols), (2) $m_{1}\ll m_{2}$ (kleine versus große Masse), (3) $q_{1}=q_{2}$ („Anti-Prototyp“ des Dipols), (4) $m_{1}=m_{2}$ (symmetrische Massenverteilung), (5) $q_{2}=0$ (neutraler Bestandteil des Systems).

b) Die Verbindungslinie zwischen den beiden Ladungen sei die z-Achse. Wie lautet die Gleichung für das elektrische Quadrupolmoment $\mathcal{Q}_{zz}$ (der Bezugspunkt für die Definition ist ebenfalls der Schwerpunkt)? Welche Quadrupolmomente erhält man für die obigen Spezialfälle?

c) Im Allgemeinen muss man einen Quadrupol durch fünf Parameter beschreiben. Warum fünf und warum darf man hier trotzdem von dem Quadrupolmoment sprechen?

2.4 Energie einer Ladungsverteilung im homogenen elektrischen Feld.

Ein System von Punktladungen q _i , die sich an den Orten $\vec{r}_{i}$ befinden, sei in sich starr fixiert, d. h. es kann nur als Ganzes verschoben oder verdreht werden.

Wie groß ist die Änderung der potentiellen Energie $\Updelta E_{\text{pot}}$ bei einer Verschiebung des Systems in einem homogenen elektrischen Feld $\vec{E}$ um die Strecke $\Updelta\vec{s}$? Wie hängt die potentielle Energie des Systems bei festgehaltenem Schwerpunkt von seiner Winkelstellung ab?

Das System besitze die Gesamtladung Null und das elektrische Dipolmoment sei ebenfalls Null, aber das Quadrupolmoment endlich. Ändert sich die potentielle Energie $E_{\text{pot}}$ in einem homogenen elektrischen Feld bei Verschiebungen oder Drehungen?

2.5 Elektrische Kräfte von Ladungen und Quadrupolen.

Ein Atomkern mit der Ladungszahl Z = 67, der ein Quadrupolmoment $\mathcal{Q}=e\cdot 2{,}0\cdot 10^{-24}$ cm${}^{2}$ besitzt ($e=$ Elementarladung), erzeugt sowohl ein Quadrupolfeld als auch ein Coulomb-Feld. Wie groß ist das Verhältnis der Feldstärken auf der Rotationsachse des Quadrupols in einem typischen atomaren Abstand $r=0{,}5\cdot 10^{-8}$ cm?

2.6 Quadrupolmoment eines Rotationsellipsoids.

Wie groß ist das Quadrupolmoment eines homogen geladenen Rotationsellipsoids (Abb. 2.17) mit der Ladung Q, der z-Richtung als Symmetrieachse, der Halbachse c in z-Richtung und dem Radius a in der $(x,y)$-Ebene? (Ersetzen Sie (2.34) durch ein Integral, formulieren Sie die Gleichung für die Oberfläche des Ellipsoids und setzen Sie dessen Volumen aus dünnen Kreisplatten zusammen). Test: Das Resultat muss für $c=a$ Null sein. Für die Kernphysik typisches Zahlenbeispiel: $Q=67\,e$, c = 7 fm, a = 6 fm.