Iterative Verfahren zur Lösung von Gleichungen

Zusammenfassung

Viele Probleme der angewandten Mathematik münden in der Aufgabe, Gleichungen der Art

$$f(x)=0$$

lösen, wobei $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ eine nichtlineare, reellwertige Funktion war. Sowohl bei der Berechnung von Nullstellen von Polynomen oder der Auswertung von notwendigen Bedingungen für Extremalprobleme kann man die in der Regel nichtlinearen Gleichungen nur lösen, wenn man Glück hat bzw. weil Beispiele geschickt gewählt wurden. In der Regel ist es nicht möglich, die Lösungen in Form von geschlossenen analytischen Ausdrücken exakt auszurechnen. In den meisten Fällen ist es allerdings möglich, Lösungen als Grenzwerte von Iterationsfolgen numerisch zu berechnen.

Zur guten näherungsweisen Berechnung ist eine Iteration erforderlich. Neben der Lösung nichtlinearer Gleichungen und Gleichungssysteme werden in diesem Kapitel auch iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme behandelt. Die iterative Lösung linearer Gleichungssysteme ist besonders im Fall von Systemmatrizen mit einer regelmäßigen Struktur, die bei der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen entstehen, verbreitet.