Überbestimmte lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Bei der Auswertung von Experimenten oder Messungen in den unterschiedlichsten Disziplinen entsteht oft die Aufgabe, funktionale Beziehungen zu ermitteln, die die experimentellen Daten bzw. die Beziehung zwischen Einflussgrößen und Zielgrößen möglichst gut beschreiben. Hat man nur 2 Messpunkte, dann ist dadurch eine Gerade eindeutig festgelegt, bei 3 Messpunkten eine Parabel usw. Allerdings erhält man in der Regel mehr oder weniger streuende Punktwolken, durch die man Geraden, Parabeln oder andere analytisch fassbare Kurven möglichst so legen möchte, dass die Messpunkte gut angenähert werden. In der Abb. 3.1 ist diese Situation dargestellt.

Solche auch Ausgleichsprobleme genannte Aufgaben führen in der Regel auf die Behandlung überbestimmter, nicht exakt lösbarer linearer Gleichungssysteme. Dabei spielen spezielle Matrixzerlegungen $A=QR$ mit einer orthogonalen Matrix Q und einer Dreiecksmatrix R eine besondere Rolle. Im Folgenden werden die mathematischen Instrumente zur Lösung von Ausgleichsproblemen bereitgestellt.