Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir einige grundlegende Begriffe der Riemann’schen Geometrie einführen. Eine wesentliche Erweiterung im Vergleich zum Formalismus der Lorentz-Transformationen wird die Einführung nichtkonstanter Transformationen sein, d.h. der Zusammenhang zwischen den betrachteten Bezugssystemen hängt von den Koordinaten ab. Diese Erweiterung verkompliziert den Formalismus erheblich, so werden wir sehen, dass die gewöhnliche partielle Differentiation nicht mehr geeignet ist, um in der ART mathematische Zusammenhänge zu formulieren. Darüberhinaus brauchen wir eine mathematisch präzise Charakterisierung gekrümmter Räume. Wir werden sehen, dass dieses Problem mit dem gerade erwähnten eng verknüpft ist.
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Notes
- 1.
Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826–1866, deutscher Mathematiker.
- 2.
- 3.
Elwin Bruno Christoffel, 1829–1900, deutscher Mathematiker.
- 4.
Zum mathematischen Hintergrund des gerade Gesagten einige Anmerkungen: Die von uns gefundene Lösung von (11.63) ist nicht eindeutig, (11.62) liefert wegen der Symmetrie von \(g_{\mu\nu}\) nur \(n^{2}(n+1)/2\) unabhängige Gleichungen für n 3 unbekannte \({{\Gamma^{\alpha}}_{\mu\beta}}\). Unsere Lösung ergibt sich, wenn man zusätzlich fordert, dass die betrachtete Raumzeit torsionsfrei ist. Die Christoffel-Symbole und die Übergangskoeffizienten sind dann gleich. Um zwischen diesen beiden Größen unterscheiden zu können, werden in der mathematisch geprägten Literatur zur ART die Christoffel-Symbole oft in der Form \(\left\{\kappa\atop\mu\nu\right\}\) geschrieben. Diese sind immer symmetrisch in den unteren beiden Indizes. Die Übergangskoeffizienten ergeben sich dann als Summe der Christoffel-Symbole und Beiträgen aus der Torsion. In allen in der ART betrachteten Raumzeiten verschwindet der Torsionstensor allerdings, deshalb gehen wir auf diese Unterscheidung nicht ein. Details zu diesem Thema finden sich in [5]. Es sei auch darauf hingewiesen, dass Erweiterungen der ART mit Torsion schon sehr früh diskutiert wurden und immer noch Gegenstand aktueller Forschung sind. Der interessierte Leser findet Zusammenfassungen der entsprechenden Theorie in Arbeiten von Hehl et al. [3], Capozziello et al. [1] und Shapiro [6].
- 5.
Gregorio Ricci-Curbastro, 1853–1925, italienischer Mathematiker.
- 6.
Erich Kretschmann, 1887–1973, deutscher Physiker.
- 7.
Hermann Klaus Hugo Weyl, 1885–1955, deutscher Mathematiker und Physiker.
- 8.
Wilhelm Karl Joseph Killing, 1847–1923, deutscher Mathematiker.
- 9.
James Joseph Sylvester, 1814–1897, englischer Mathematiker.
- 10.
Leonhard Euler, 1707–1783, Schweizer Mathematiker und Physiker.
- 11.
Joseph-Louis Lagrange, 1736–1813, italienischer Mathematiker und Astronom.
- 12.
Enrico Fermi, 1901–1954, US-amerikanischer Kernphysiker italienischer Abstammung, Nobelpreis 1938. Besonders bekannt ist er für seine Beiträge zur Kernphysik. Nach ihm ist unter anderem auch die Fermi-Energie benannt (s. Kap. 18).
- 13.
Arthur Geoffrey Walker, 1909–2001, britischer Mathematiker. Er ist auch Mitnamensgeber der Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik, die in der Kosmologie sehr wichtig ist (s. Kap. 24).
Literatur
Capozziello, S., Lambiase, G., Storniolo, C.: Geometric classification of the torsion tensor of space-time. Ann. Phys. 10(8), 713–727 (2001)
Hawking, S.W., Ellis, G.F.R.: The large scale structure of space-time. Cambridge University Press (1999)
Hehl, F.W., Heyde, P., Kerlick, G.D., Nester, J.M.: General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects. Rev. Mod. Phys. 48(3), 393–416 (1976)
Misner, C.W., Thorne, K.S., Wheeler, J.A.: Gravitation. W.H. Freeman, New York (1973)
Nakahara, M.: Geometry, Topology and Physics, 2. Aufl. Taylor & Francis (2003)
Shapiro, I.L.: Physical aspects of the space-time torsion. Phys. Rept. 357, 113–213 (2002)
Stephani, H., Stewart, J.: General Relativity: An Introduction to the Theory of Gravitational Field. Cambridge University Press (1990)
Wald, R.M.: General Relativity. University of Chicago Press (1984)
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Boblest, S., Müller, T., Wunner, G. (2016). Riemann’sche Geometrie. In: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-47767-0_11
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