Gitterschwingungen (Phononen)

Zusammenfassung

Wir betrachten in diesem Kapitel N Massenpunkte (Atomkerne oder Ionen), die miteinander über ein effektives Potential $V_{\text{eff}}({\mathbf{\mathit{R}}}_{1},\ldots,{\mathbf{\mathit{R}}}_{N})$ von der im vorigen Kapitel diskutierten Art wechselwirken. Der Hamilton-Operator bzw. die klassische Hamilton-Funktion hat die Gestalt:

$$H=\sum_{l=1}^{N}\frac{{\mathbf{\mathit{P}}}_{l}^{2}}{2M_{l}}+V_{\text{eff}}\left({\mathbf{\mathit{R}}}_{1},\ldots,{\mathbf{\mathit{R}}}_{N}\right)\;.$$

(4.1)

Es soll gewisse Gleichgewichtspositionen $\underline{\boldsymbol{R}}^{(0)}=({\mathbf{\mathit{R}}}_{1}^{(0)},\ldots,{\mathbf{\mathit{R}}}_{N}^{(0)})$ geben, die dem absoluten Minimum des Potentials entsprechen. Für kleine Auslenkungen aus dem Gleichgewicht kann man das Potential bis zur zweiten Ordnung um die Gleichgewichtsorte entwickeln. Setzt man

$${\mathbf{\mathit{R}}}_{l}=(R_{l1},\ldots,R_{ld})={\mathbf{\mathit{R}}}_{l}^{(0)}+{\mathbf{\mathit{u}}}_{l}$$

(4.2)

(d Dimension), dann folgt durch Entwickeln:

$$V_{\text{eff}}\left({\mathbf{\mathit{R}}}_{1},\ldots,{\mathbf{\mathit{R}}}_{N}\right)=V\left(\underline{\boldsymbol{R}}^{(0)}\right) +\sum_{l,\alpha}\left.\frac{\partial V}{\partial R_{l\alpha}}\right|_{\underline{\boldsymbol{R}}^{(0)}}\cdot u_{l\alpha}$$

$$ +\frac{1}{2}\sum_{l,m,\alpha,\beta}\left.\frac{\partial^{2}V}{\partial R_{l\alpha}\partial R_{m\beta}}\right|_{\underline{\boldsymbol{R}}^{(0)}}\cdot u_{l\alpha}u_{m\beta}+\ldots$$

(4.3)

Die harmonische Näherung besteht im Abbruch der Entwicklung nach diesem Term, der quadratisch in den Auslenkungen ist. Der lineare Term verschwindet, da bei den Gleichgewichtspositionen, d. h. am absoluten Minimum des Potentials, die partiellen Ableitungen sein müssen. Die bilden eine symmetrische, positiv definite -Matrix; dass sie positiv definit ist, folgt unmittelbar aus der Voraussetzung, dass bei ein Minimum vorliegt (und kein Sattelpunkt oder Maximum). Mit der Definition lässt sich der Hamilton-Operator bzw. die Hamilton-Funktion (4.1) in harmonischer Näherung schreiben als: mit den Spalten- bzw. Zeilenvektoren und der -Matrix