Zusammenfassung
Die in den beiden ersten Kapiteln enthaltenen Überlegungen über die wissenschaftliche Entwicklung von Archimedes lassen vermuten, dass der Ausgangspunkt zumindest für die den Inhaltsbestimmungen zugrundeliegende Methode in konkreten mechanischen Untersuchungen zu finden ist. Dem entspricht eine Rekonstruktion der mechanischen Schriften und der Tätigkeit von Archimedes als Ingenieur, Physiker und Astronom.
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Notes
- 1.
F. Hultsch (1) Bd. 3, S. 1026.
- 2.
Ernst Mach, S. 14 f.
- 3.
Für die Echtheitsüberlegungen der Axiome und Sätze von ‚Über das Gleichgewicht ebener Flächen I‘ siehe Berggren, S. 91–99. – Ein interessantes Detail in Berggrens Arbeit ist, dass Satz 12, eine unmittelbare Folge von Axiom 5, mehr als dreißig Zeilen für seinen Beweis benötigt, wobei auffällig durch die nahezu gleich lautende Formulierung zweimal auf Euklid VI 6 verwiesen wird. Unter der bis jetzt nicht gerade volkstümlichen Voraussetzung, dass Archimedes seine Schriften in Unkenntnis der Euklidischen Fassung der ‚Elemente‘ schrieb, könnte dies ein weiterer Hinweis auf die Tendenz späterer Bearbeitung Archimedischer Schriften sein, diese nachträglich zu „euklidisieren“.
- 4.
Diese Möglichkeit wurde von O. Toeplitz entdeckt und von dessen Schüler W. Stein (s. Literaturverzeichnis) ausgeführt. Auch Dijksterhuis hat sich in seinem ‚Archimedes‘ dieser Deutung angeschlossen.
- 5.
Stein, S. 98 f.
- 6.
Die erste solche Darstellung speziell für das Hebelgesetz brachte H. Gericke (s. Gericke [1]); Olaf Schmidt hat dann diesen Versuch auf die Theorie des Schwerpunkts ausgedehnt in einer Arbeit, deren erster Teil weitgehend mit den Überlegungen von H. Gericke übereinstimmt. Siehe O. Schmidt.
- 7.
Dijksterhuis, Archimedes, S. 297 f.
- 8.
Diese Ansicht vertritt Dijksterhuis, Archimedes, S. 304, wobei er sich wesentlich auf die Vorarbeit von Giovanni Vailati stützt.
- 9.
Siehe dazu A. G. Drachmann (3), S. 95 und 105. Die Aussage, dass die ‚Mechanischen Probleme‘ höchstens 40 Jahre vor Archimedes’ Geburt abgefasst wurden, stützt sich auf eine Einschätzung der Schrift als allenfalls Spätwerk von Aristoteles. Aber selbst wenn man mit F. Krafft (3) annimmt, dass es sich bei den ‚Mechanischen Problemen‘ um eine Frühschrift des Aristoteles handelt, wobei allerdings Ergänzungen und Überarbeitungen aus nacharistotelischer Zeit zu berücksichtigen sind, ändert sich an Drachmanns Argument wenig. Berggren, S. 100, wendet dagegen ein, dass mangelnde Evidenz nur eine hinreichende aber keine notwendige Voraussetzung für Drachmanns Behauptung darstellt, Archimedes habe als erster eine Schwerpunkttheorie entwickelt.
- 10.
Berggren, S. 101 f. wendet gegen diese Rekonstruktion einer Schwerpunktsdefinition von Körpern bei Archimedes ein, dass dabei 1. eine nachweislich falsche Aussage enthalten ist, und 2. eine Existenzbetrachtung für den als Schnittpunkt der Vertikalen durch verschiedene Aufhängungspunkte eines Körpers definierten Schwerpunkt fehlt. Bei der falschen Aussage handelt es sich darum, dass eine auf dem Horizont senkrecht stehende Ebene, die einen Körper in zwei sich im Gleichgewicht befindliche Teile zerlegt, diesen „in zwei Hälften teilt“. Unabhängig davon, ob man hier an Gewichts- oder Volumenhälften denkt, kann diese Aussage etwa an der Schnellwaage sofort zum Widerspruch gebracht werden. Dagegen kann – auch aus dem nachfolgenden Text ersichtlich – angeführt werden, dass Hälften hier nicht zwangsläufig im Sinn von gleiche Hälften verstanden werden muss, sondern im Sinn von zwei infolge der durch den Körper gehenden Ebene entstandenen Teile interpretiert werden kann. Die von Berggren angeführten Gründe dafür, dass Archimedes in jedem Fall das Existenzproblem erkannt und zumindest zu lösen, niemals aber durch Definition zu umgehen versucht hätte, sind ausschließlich psychologischer Natur. Dass Archimedes, als dessen Ausgangsbasis konkrete mechanische Versuche anzusehen sind, und dem an konstruktiven auf die Entdeckung neuer Sätze abzielenden mathematischen Methoden lag, nach dem Beweis der Eindeutigkeit noch ein Existenzproblem sah, ist keineswegs trivial. So wird in der von Berggren als Beispiel der mathematischen Leistungsfähigkeit von Archimedes angeführten ‚Spiralenabhandlung‘ nirgends untersucht, ob eine Spirale in jedem ihrer Punkte eine Tangente besitzt. Auch das zusätzliche Argument Berggrens, dass der in der Rekonstruktion mit dem Schwerpunkt identifizierte Neigungspunkt in den erhaltenen mechanischen Schriften nirgends auftaucht, ist nicht stichhaltig, wenn man den hier rekonstruierten Schwerpunktsbegriff für Körper als für den frühen Archimedes kennzeichnend annimmt und mit Drachmann einen erweiterten Schwerpunktsbegriff für allgemeine geometrische Größen in einer nicht mehr erhaltenen Schrift voraussetzt.
- 11.
Siehe Herons von Alexandria Mechanik und Katoptrik (= Heronis Alexandrini Opera quae supersunt omnia, Vol. II., Fasc. I) Leipzig 1900, S. 62, 64.
- 12.
Drachmann (3), S. 114–133.
- 13.
Heron Opera II, S. 82, 84.
- 14.
Ein ähnliches Argument findet sich auch bei F. Krafft (5), S. 99.
- 15.
Drachmann (3), S. 143.
- 16.
Die Argumente, die für eine Erfindung der Wasserschnecke durch Archimedes sprechen und damit eine frühere Erfindung weitgehend ausschließen, sind in A. G. Drachmann (1) gesammelt. Die Vermutung, dass die Archimedische Form der Wasserschnecke auf der achtkämmrigen Wassertrommel aufbaut, wird gestützt durch eine entsprechende Beschreibung des Instruments bei Vitruv. Siehe dazu Drachmann (4), S. 152 f.
- 17.
Drachmann (4), S. 202.
- 18.
Dieses Instrument wurde Trispaston genannt.
- 19.
Krafft (1), S. 147 f. hat aus der Zeichnung eine Lagerung der jeweils drei Rollen einer Flasche auf einer gemeinsamen Achse geschlossen, weil es „in der Antike üblich war, entgegen der Perspektive in die Zeichenebene zu drehen“. Dagegen ist einzuwenden, dass von einer solchen Üblichkeit angesichts unseres verschwindend geringen Wissens über technische Zeichnungen in der griechischen Antike nicht die Rege sein kann. Aber selbst wenn solche Klappungen üblich gewesen wären, hätte der Zeichner bei einer Anordnung der Rollen einer Flasche in einer Ebene sicherlich nicht geklappt. Schließlich hätte sich je nach Abstand der Rollen bei der von Krafft vorgeschlagenen Anordnung wegen des Schräglaufs der Seile nicht nur zusätzliche Reibung ergeben, sondern die ständige Gefahr eines Herausspringens des Seils.
- 20.
Für diesen Erklärungsversuch siehe A. G. Drachmann (2).
- 21.
Für die Situation des antiken Schiffsbaus und speziell eine moderne Deutung der Schrift ‚Über schwimmende Körper‘ siehe Charles Bonny. Helmut Wilsdorf hat sich vor allem unter sozialen Gesichtspunkten mit dem antiken Schiffsbau bis etwa 300 v. Chr. befasst.
- 22.
AO II, S. 318.
- 23.
Dijksterhuis, Archimedes, S. 377–379.
- 24.
AO II, S. 319.
- 25.
Vitruvius, De Architectura IX 9–12.
- 26.
Man hätte dies normalerweise aufgrund einer chemischen Analyse feststellen können. Diese war aber für geweihte und damit geheiligte Gegenstände nicht zulässig. Dies führte dazu, die von Vitruv als corona bezeichnete Weihgabe als Goldkranz zu deuten. siehe Dijksterhuis, Archimedes, S. 19 aufgrund der Untersuchungen von Ch. M. van Deventer.
- 27.
Vitruv, De Architectura IX, 12.
- 28.
Für beide Verfahren wurde aufgrund einer mit einer Studentengruppe durchgeführten Versuchsreihe eine Fehlerrechnung angestellt, die im Fall von Vitruvs Beschreibung bei einem maximalen Fehler von 60 %, im zweiten Fall wesentlich niedriger lag. Siehe dazu Hoddeson.
- 29.
Ernst Mach, S. 83.
- 30.
Siehe dagegen Carl B. Boyer (2).
- 31.
AO II, S. 222.
- 32.
AO II, S. 222.
- 33.
AO II, S. 222 u. S. 224. Für eine genaue Beschreibung und Interpretation des von Archimedes beschriebenen Verfahrens s. Lejeune (1). Delsedime (2) bietet weitgehend in Übereinstimmung mit Lejeune (1) anschauliche Rekonstruktionszeichnungen. Er setzt sich auch mit einem früheren Rekonstruktionsversuch von Czwalina (3) kritisch auseinander, wobei auch die Rolle des Archimedischen Diopterlineals in der antiken Astronomie vor allem für die von Hipparch verbesserte Form berücksichtigt wird.
- 34.
Eine auf ausschließlich bei Archimedes nachweisbaren Kenntnissen beruhende Rekonstruktion dieser Berechnung bietet Alan E. Shapiro.
- 35.
AO II, S. 224.
- 36.
Für die nach Theon von Archimedes untersuchten Brechungserscheinungen sieh A. Rome.
- 37.
Siehe Albert Lejeune (2).
- 38.
Apuleius, Apologia 16, 3–16.
- 39.
Siehe dazu G. J. Toomer (2).
- 40.
Zu der Frage nach der kriegstechnischen Anwendung von Brennspiegeln durch Archimedes gibt es eine sehr umfangreiche Literatur. Man hat darin verschiedentlich versucht, mit Hilfe geeigneter Anordnungen von Brennspiegeln ein mögliches Vorgehen von Archimedes zu rekonstruieren und damit die Frage positiv zu beantworten. Endgültig erledigt wurde das Problem durch I. Schneiders (1) und (2) Nachweis, dass es sich bei der vor allem von sehr späten byzantinischen Historiographen vorgetragenen Behauptung um eine Legende handelt.
- 41.
AO II, S. 218.
- 42.
AO II, S. 218.
- 43.
Siehe dazu O. Neugebauer (1). Neugebauer wies in dieser kurzen Arbeit die in dem Artikel von R. von Erhardt und E. von Erhardt-Siebold aufgestellten Thesen erfolgreich zurück, wonach einmal Archimedes’ Autorschaft an der ‚Sandzahl‘ bestritten wird, und zum anderen die Fixsternsphäre und damit der Kosmos von Aristarch nicht mehr endlich, sondern unendlich ausgedehnt sein soll.
- 44.
Für eine Darstellung des Parallaxenproblems im ‚Sandrechner‘ siehe O. Neugebauer (2), S. 644 f.
- 45.
Almagest III 1.
- 46.
Für eine Rekonstruktion der ursprünglichen Zahlen von Archimedes aus den von Hippolyt etwas verderbt überlieferten siehe O. Neugebauer (2), S. 647–650.
- 47.
Für eine Zusammenstellung der entsprechenden Literaturstellen siehe Dijksterhuis, Archimedes, S. 23–25.
- 48.
Siehe E. Wiedemann und F. Hauser. Hill ist (in: al-Jazarı̄, S. 10) mit Drachmann einer Meinung, dass es sich hier um eine muslimische Arbeit handelt, die sich u. a. auf Philon und wahrscheinlich auf Heron stützt.
- 49.
Für die Zuweisung der Erfindung von Zahnradgetrieben im Zusammenhang mit Planetarien von Archimedes siehe Price, S. 56–58.
- 50.
Siehe dazu R. Hooykaas und Fritz Krafft (8).
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Schneider, I. (2016). An der Seilwinde: Archimedes als Naturwissenschaftler und Ingenieur. In: Archimedes. Mathematik im Kontext. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-47130-2_3
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