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Komplexe Zahlen

  • Michel ChipotEmail author
Chapter
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Part of the Springer-Lehrbuch book series (SLB)

Zusammenfassung

Wie sind die komplexen Zahlen entstanden? Wir betrachten zunächst folgende Beispiele:
  • \({\mathbb{N}}\to{\mathbb{Z}}\).Die Gleichung \(x+a=b\) besitzt keine Lösung in \({\mathbb{N}}\), falls \(b<a\). \({\mathbb{Z}}\) ist konstruiert, sodass diese Gleichung in \({\mathbb{Z}}\) mindestens eine Lösung besitzt. Man sagt, \({\mathbb{Z}}\) sei eine Erweiterung von \({\mathbb{N}}\).

  • \({\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Q}}\).\(x\cdot a=b\) besitzt keine Lösung, falls a kein Teiler von b ist. \({\mathbb{Q}}\) ist konstruiert, sodass diese Gleichung in \({\mathbb{Q}}\) eine Lösung besitzt.

  • \({\mathbb{Q}}\to{\mathbb{R}}\). \(x^{2}=2\) besitzt keine Lösung in \({\mathbb{Q}}\). \({\mathbb{R}}\) ist konstruiert, sodass diese Gleichung in \({\mathbb{R}}\) eine Lösung besitzt.

  • \({\mathbb{R}}\to{\mathbb{C}}\).\(x^{2}=-1\) ist in \({\mathbb{R}}\) nicht lösbar. \({\mathbb{C}}\) ist konstruiert, sodass diese Gleichung in \({\mathbb{C}}\) eine Lösung besitzt:
    $${\mathbb{N}}\subset{\mathbb{Z}}\subset{\mathbb{Q}}\subset{\mathbb{R}}\subset{\mathbb{C}}.$$
    Wir führen eine neue imaginäre Einheit i ein mit \(i^{2}=-1\). i ist nur ein Symbol.

Eine komplexe Zahl ist durch x, y bestimmt. Sie kann mit \((x,y)\) identifiziert werden (siehe Abb. 6.1).

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016

Authors and Affiliations

  1. 1.Institut für MathematikUniversität ZürichZürichSchweiz

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