Komplexe Zahlen

Zusammenfassung

Wie sind die komplexen Zahlen entstanden? Wir betrachten zunächst folgende Beispiele:

• ${\mathbb{N}}\to{\mathbb{Z}}$.Die Gleichung $x+a=b$ besitzt keine Lösung in ${\mathbb{N}}$, falls $b<a$. ${\mathbb{Z}}$ ist konstruiert, sodass diese Gleichung in ${\mathbb{Z}}$ mindestens eine Lösung besitzt. Man sagt, ${\mathbb{Z}}$ sei eine Erweiterung von ${\mathbb{N}}$.

• ${\mathbb{Z}}\to{\mathbb{Q}}$.$x\cdot a=b$ besitzt keine Lösung, falls a kein Teiler von b ist. ${\mathbb{Q}}$ ist konstruiert, sodass diese Gleichung in ${\mathbb{Q}}$ eine Lösung besitzt.

• ${\mathbb{Q}}\to{\mathbb{R}}$. $x^{2}=2$ besitzt keine Lösung in ${\mathbb{Q}}$. ${\mathbb{R}}$ ist konstruiert, sodass diese Gleichung in ${\mathbb{R}}$ eine Lösung besitzt.

• ${\mathbb{R}}\to{\mathbb{C}}$.$x^{2}=-1$ ist in ${\mathbb{R}}$ nicht lösbar. ${\mathbb{C}}$ ist konstruiert, sodass diese Gleichung in ${\mathbb{C}}$ eine Lösung besitzt:

  $${\mathbb{N}}\subset{\mathbb{Z}}\subset{\mathbb{Q}}\subset{\mathbb{R}}\subset{\mathbb{C}}.$$

  Wir führen eine neue imaginäre Einheit i ein mit $i^{2}=-1$. i ist nur ein Symbol.

Eine komplexe Zahl ist durch x, y bestimmt. Sie kann mit $(x,y)$ identifiziert werden (siehe Abb. 6.1).