Topologie und Geometrie

Zusammenfassung

Die Topologie beschäftigt sich mit dem Begriff des Raums und wird deshalb oft als Teilgebiet der Geometrie gesehen. Daher mag es verwundern, dass eine Grobeinteilung der Topologie das Gebiet der geometrischen Topologie explizit erwähnt. Die anderen Hauptgebiete sind die mengentheoretische und die algebraische Topologie. Die Verallgemeinerung des Raumkonzepts in der mengentheoretischen Topologie vom euklidischen zum metrischen und schließlich topologischen Raum führt zu einem ausgesprochen flexiblen Konzept, dessen Vokabular und Grundbegriffe Einzug in nahezu alle mathematischen Bereiche gefunden hat. Was dabei Raum genannt wird, ist allerdings sehr allgemein, sehr abstrakt und entzieht sich oft unserer Vorstellungskraft. Geometrische Topologie untersucht dagegen Räume, die zumindest im Kleinen sich nur wenig von euklidischen Räumen unterscheiden. Algebraische Topologie entstand aus dem erfolgreichen Versuch, Strukturen in diesen Räumen mit Hilfe algebraischer Konzepte zu organisieren.