Mengenlehre und Logik

Zusammenfassung

In diesem Kapitel stellen wir zentrale Begriffe und Ergebnisse der Mengenlehre und allgemeiner der mathematischen Logik vor. Dabei wollen wir dieses weite Feld nicht repräsentativ abstecken, sondern wir greifen vor allem Themen auf, die aus grundlagentheoretischer Sicht für die Mathematik als Ganzes von Bedeutung sind.

Wir beginnen mit einer Darstellung des Mächtigkeitsvergleichs von Mengen mit Hilfe von injektiven und bijektiven Funktionen. Im zweiten Abschnitt besprechen wir dann das Diagonalverfahren, mit dessen Hilfe wir Größenunterschiede im Unendlichen aufzeigen können. Von fundamentaler Bedeutung ist dabei die Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen. Vom Diagonalverfahren führt ein direkter Weg zur Russell-Antinomie, die wir im dritten Abschnitt diskutieren. Sie zeigt, dass die freie Mengenbildung über Eigenschaften nicht haltbar ist. Eine erfolgreiche Lösung der aufgeworfenen Schwierigkeiten stellt die Zermelo-Fraenkel-Axiomatik dar, deren Axiome wir in Abschnitt vier vorstellen. Dem vieldiskutierten Auswahlaxiom und seiner Verwendung in der Mathematik widmen wir den fünften Abschnitt, und dem zum Auswahlaxiom äquivalenten Zorn’schen Lemma den sechsten. Im siebten Abschnitt besprechen wir schließlich noch die schwerwiegenden Limitationen und zuweilen als paradox empfundenen Sätze, zu denen das Auswahlaxiom in der Maßtheorie führt.