Allgemeine Problemstellung der statischen Optimierung

Zusammenfassung

Die allgemeine Problemstellung der statischen Optimierung lautet:

Minimiere

$$f(\mathbf{x}),\quad{\boldsymbol{\mathrm{x}}}\in\mathbb{R}^{n}$$

unter Berücksichtigung von (u. B. v.)

$$\mathbf{c(x)}=\boldsymbol{\mathrm{0}},\quad{\boldsymbol{\mathrm{c}}}\in\mathbb{R}^{m}$$

(2.1)

und

$$\mathbf{h(x)}\leq\boldsymbol{\mathrm{0}},\quad{\boldsymbol{\mathrm{h}}}\in\mathbb{R}^{q},$$

(2.2)

wobei f die zu minimierende Gütefunktion, (2.1) die Gleichungsnebenbedingungen und (2.2) die Ungleichungsnebenbedingungen in allgemeiner Form darstellen. Der Vektor ${\boldsymbol{\mathrm{x}}}\in\mathbb{R}^{n}$ beinhaltet die gesuchten Entscheidungs- oder Optimierungsvariablen. Die Dimensionen der Vektorfunktionen $\boldsymbol{\mathrm{c}}$ bzw. $\boldsymbol{\mathrm{h}}$ sind m bzw. q. Damit die Problemstellung Sinn macht, muss $m<n$ sein. Gilt nämlich $m=n$, so ist $\boldsymbol{\mathrm{x}}$ aus (2.1) bestimmbar, falls die entsprechenden Teilgleichungen $c_{i}(\mathbf{x})=0,\;i=1,\ldots,m$, unabhängig sind, und demzufolge gibt es kaum etwas zu optimieren. Bei $m> n$ wäre (2.1) sogar überbestimmt. Für die Anzahl q der Ungleichungsnebenbedingungen gibt es hingegen keine obere Grenze. Im Folgenden werden die Gleichungs- bzw. Ungleichungsnebenbedingungen mit GNB bzw. UNB abgekürzt. Das formulierte Problem ist allgemein auch als Aufgabenstellung der nichtlinearen Programmierung oder mathematischen Programmierung bekannt, s. [Kuhn (1991)] für einen interessanten geschichtlichen Überblick.