Das Maximum Entropie Prinzip

Zusammenfassung

In Theorem 3.6 wurde gezeigt, dass bei einer nichtleeren endlichen Ergebnismenge Ω durch

$$\displaystyle\mathbb{P}(\{\omega\})=\frac{1}{|\Omega|},\quad\omega\in\Omega\quad(|\Omega|\text{ Anzahl der Elemente von $\Omega$})$$

das Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\mathcal{P}}(\Omega)$ mit maximaler Entropie gegeben ist. Nun untersuchen wir die gleiche Fragestellung unter Nebenbedingungen.

Seien $n\in\mathbb{N}$ und

$$\displaystyle f_{\mathbb{S}}:[0,1]^{n}\to\mathbb{R}^{+}_{0},\quad\mathbf{x}=(x_{1},\ldots,x_{n})\mapsto-\sum_{j\in J_{\mathbf{x}}}x_{j}\mathop{\mathrm{ld}}(x_{j})$$

mit

$$\displaystyle J_{\mathbf{x}}=\{k\in\{1,\ldots,n\};\;x_{k}> 0\},$$

so ist $f_{\mathbb{S}}$ wegen

$$\displaystyle\lim_{x\to 0}x\mathop{\mathrm{ld}}(x)=0$$

auf $[0,1]^{n}$ stetig und strikt konkav (siehe Theorem 2.1).