Mengenfunktionen und Maße

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Maße auf σ-Algebren definiert, das sind σ-additive Abbildungen von einer σ-Algebra von Teilmengen einer Grundmenge E in die Menge der nichtnegativen Zahlen einschließlich des Elementes $\infty$. Anschaulich kann man sich darunter Volumina von Körpern im Raum vorstellen. Die Angabe allgemeiner Maße auf σ-Algebren gelingt häufig durch explizite Definiton einer σ-additiven Mengenfunktion auf einer erzeugenden Semialgebra und Ausdehnung auf die betrachtete σ-Algebra unter Ausnutzung geeigneter Fortsetzungssätze. Normierte Maße ordnen der Grundmenge E das Maß Eins zu, man bezeichnet sie als Wahrscheinlichkeitsmaße. Solche Maße auf den Borelmengen der reellen Achse $\mathbb{R}$ und der Vektorräume $\mathbb{R}^{n}$ werden durch ihre Verteilungsfunktionen charakterisiert. Eine besondere Rolle spielt das Lebesgue-Maß $\lambda^{(n)}$ auf den Borelmengen des $\mathbb{R}^{n},n\geq 1,$ das jedem n-dimensionalen Quader sein „Volumen“ zuweist.