Primzahlen

Zusammenfassung

Primzahlen besitzen verschiedene „Gesichter“. Diese lernen wir im ersten Abschnitt anhand unterschiedlicher, anschaulicher Einführungswege kennen.

Die Frage, ob es endlich viele oder unendlich viele Primzahlen gibt, beantwortete Euklid schon vor rund 2300 Jahren mittels einer genial einfachen Idee. Wir beweisen diesen sogenannten Satz von Euklid im zweiten Abschnitt. Gleichzeitig werfen wir hier einen kurzen Blick auf die faszinierende Jagd nach immer größeren Primzahlen.

Schon vor gut 2200 Jahren erfand Eratosthenes ein schnelles und effektives Verfahren zur Bestimmung sämtlicher Primzahlen bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl n. Dieses sogenannte Sieb des Eratosthenes thematisieren wir im dritten Abschnitt dieses Kapitels.

Bei der Betrachtung der Verteilung der Primzahlen innerhalb der Menge der natürlichen Zahlen stellen wir im vierten Abschnitt starke Unregelmäßigkeiten fest. So gibt es einerseits eng benachbarte Primzahlen (Primzahlzwillinge, Primzahldrillinge, $\ldots$) selbst noch bei sehr großen Zahlen, während es andererseits schon bei relativ kleinen Zahlen längere Primzahllücken gibt. Durch einen konstruktiven Beweis können wir sogar leicht zeigen, dass es Primzahllücken beliebiger Länge gibt.