Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird ein repräsentatives Beispiel eines nichtlinearen inversen Problems vorgestellt und gelöst. Es handelt sich um ein Parameteridentifikations-Problem, bei dem die Lösung einer Differentialgleichung bekannt und eine unbekannte Koeffizientenfunktion der Differentialgleichung gesucht ist. Die bei der Lösung des inversen Problems vollzogenen Schritte orientieren sich am linearen Fall mit dem wesentlichen Unterschied, dass die Diskretisierung nun auf ein nichtlineares Ausgleichsproblem führt.
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Notes
- 1.
Es ist üblich, die Lösung von Differentialgleichungen mitu zu bezeichnen. Im Jargon der vorangegangenen Kapitel stellt die Lösung u von (5.2) eine Wirkung dar und wäre mit w zu bezeichnen, während a die Ursache dieser Wirkung ist und mit u zu bezeichnen wäre.
- 2.
Die Hessematrix von \(\hat{T}_{\lambda}\) ist positiv definit in einer genügend kleinen Umgebung eines Minimierers und bei einem genügend großem \(\lambda> C\delta\). Ein Minimierer \(\alpha_{\lambda}\) ist damit wenigstens „lokal eindeutig“ und mit dieser Einschränkung ist g eine (stetige) Funktion. Bei nicht gegebener Eindeutigkeit von \(\alpha_{\lambda}\) hängt der Wert \(g(\lambda)\) davon ab, welcher Minimierer von einem numerischen Verfahren gefunden wird.
- 3.
Dies gilt auch ohne die Annahme \(\mbox{Rang}(J)=n\), sofern nur \(\nabla Z(x^{i})\neq 0\), siehe 2, S. 343.
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Richter, M. (2015). Regularisierung nichtlinearer inverser Probleme. In: Inverse Probleme. Mathematik im Fokus. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-45811-2_5
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-45811-2_5
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-662-45811-2
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