Phänomenologische Grundlagen der Wärmelehre

Zusammenfassung

Die Physik der Wärme lässt sich auf zweierlei Weise formulieren: Einmal als Mechanik eines Systems, das eine enorm große Zahl von Teilchen enthält (statistische Mechanik), und einmal mit Hilfe von ad hoc eingeführten Größen, den sogenannten Zustandsgrößen, die geeignet sind, das Verhalten eines solchen Systems zu beschreiben, ohne dass man die Teilchen selbst und ihre Bewegungen betrachten muss (Thermodynamik). Wir werden beide Ansätze in ihrer einfachsten und anschaulichsten Ausprägung in Kap. 5 (kinetische Gastheorie) bzw. in Kap. 8 (Grundbegriffe der Thermodynamik) behandeln. Obgleich sich die volle Durchführung des Programms als begrifflich und mathematisch recht schwierig erweist – die Vorlesung „Thermodynamik und Statistik“ steht gewöhnlich am Ende der Kursvorlesungen über theoretische Physik – werden wir doch auf der Grundlage der Kap. 5 und 8 eine Menge über die Physik der Wärme lernen können. Den Ausgangspunkt der Wärmelehre bilden jedoch allemal die Naturerscheinungen, die wir hier in Kap. 4 behandeln wollen: Wärme, Kälte, Temperaturausgleich. Wir werden untersuchen, wie man diese Begriffe quantifizieren kann, und was bei der Erwärmung oder Abkühlung eines Körpers vor sich geht. Dabei werden wir auf den I. und II. Hauptsatz der Wärmelehre stoßen.

Aufgaben

4.1 Flüssigkeitsthermometer.

Ein Quecksilberthermometer besteht aus einer Glaskugel mit dem Innenradius R ₀ und einer Kapillare mit dem Innenradius $R_{i}=0{,}25$ mm. Die Volumenausdehnung des Quecksilbers zwischen den Temperaturen $T_{0}=273$ K und $T_{100}=373$ K ist gegeben durch

$$V=V_{0}\left(1+\gamma_{1}(T-T_{0})+\gamma_{2}(T-T_{0})^{2}\right)$$

(4.43)

mit $\gamma_{1}=1{,}8\cdot 10^{-4}$ K${}^{-1}$ und $\gamma_{2}=8\cdot 10^{-9}$ K${}^{-2}$.

a) Vernachlässigen Sie zunächst die Wärmeausdehnung des Glases. Wie groß müsste R ₀ sein, damit der Quecksilberfaden bei der Erwärmung von T ₀ auf T ₁₀₀ um 10 cm länger wird?

b) An dem Thermometer ist eine lineare Skala angebracht. Um wie viel weicht die abgelesene von der tatsächlichen Temperatur in der Mitte der Skala ab, wenn die Eichung bei den Endpunkten T ₀ und T ₁₀₀ korrekt ist?

c) Der lineare Wärmeausdehnungskoeffizient der Glaskugel sei $\alpha=9\cdot 10^{-6}$ K${}^{-1}$. Welchen Radius R ₀ erhält man an Stelle von Teil a)?

4.2 Gasthermometer.

Der Kolben K des in Abb. 4.3 gezeigten Gasthermometers wird zunächst in Eiswasser getaucht. Zwischen den Quecksilberspiegeln in den beiden Seiten des U-Rohres besteht eine Höhendifferenz h ₀. Dann wird K in die zu untersuchende Flüssigkeit getaucht. Die Höhendifferenz zwischen den Quecksilberspiegeln ist nun h.

a) Welche Temperatur errechnet man aus h = 520 mm und $h_{0}=400$ mm, zunächst ohne apparative Korrekturen?

b) Das Volumen des Kolbens K ändert sich mit der Temperatur. Der Volumenausdehungskoeffizient (bei der Temperatur des Eises) sei $\gamma=2\cdot 10^{-5}$ K${}^{-1}$. Um wie viel ändert sich die errechnete Temperatur, wenn man dies berücksichtigt?

c) In der Verbindungsleitung zwischen dem Kolben K und der Spitze S ist die Temperatur zum größten Teil nicht gleich der Temperatur in K, sondern gleich der Umgebungstemperatur $T_{\text{U}}=293$ K. Um wie viel ändert sich die in Teil a) berechnete Temperatur, wenn $V_{\text{K}}=1\,\ell$ das Volumen von K ist und das Volumen in der Leitung $V_{\text{L}}=4$ cm${}^{3}$ beträgt?

4.3 Gasballon.

Ein mit Helium gefüllter Ballon, der eine große Flughöhe erreichen soll, besitze eine dünne Hülle, die biegsam, aber nicht dehnbar ist. Das maximale Volumen des Ballons betrage $V_{\text{max}}=100{.}000$ m${}^{3}$. Am Boden werden aber nur $V_{0}=7000$ m${}^{3}$ Helium bei Atmosphärendruck eingefüllt.¹¹

a) Beim Aufsteigen dehnt sich das Helium so lange aus, bis es das volle Ballonvolumen ausfüllt. In welcher Höhe h ₁ ist das der Fall? (Benutzen Sie für die Abschätzung in grober Näherung eine konstante Temperatur und Normalbedingungen am Boden).

b) Welche Gesamtmasse hätte der Ballon, wenn h ₁ gerade die maximal erreichbare Flughöhe ist? Die Masse der Kabine, der Instrumente und der Besatzung sei M = 1000 kg. Wie viel Masse bleibt höchstens für 1 cm${}^{2}$ der Ballonhülle übrig?

c) Der Ballon könnte noch höher steigen, wenn die Gesamtmasse kleiner wäre. Dann muss durch eine Öffnung immer so viel Helium entweichen, dass Druckgleichgewicht zwischen dem Balloninneren und der Umgebung besteht, weil sonst die Hülle mechanisch belastet würde. Geben Sie die erreichbare Flughöhe als Funktion der Gesamtmasse an.

4.4 Zur Tür hinaus.

Ein Zimmer hat ein Volumen V. Durch Beheizen werde die Luft von einer Temperatur $\vartheta_{1}$ auf die Temperatur $\vartheta_{2}$ erwärmt. Dabei entweicht durch Ritzen, z. B. an Türen, so viel Luft, dass der Luftdruck konstant bleibt. Vergleichen Sie die innere Energie der Luft im Zimmer vor und nach dem Heizen. Welche Wärmemenge wird zum Erwärmen der Luft einmalig benötigt? Welche Wärmemenge ist dagegen erforderlich, um eine Betonhülle mit der Fläche A, der Dicke d, der Dichte ρ und der spezifischen Wärme $c_{\text{B}}$ auf die mittlere Temperatur $(\vartheta_{1}+\vartheta_{2})/2$ zu bringen? Zahlenbeispiel: V = 60 m${}^{3}$, $\vartheta_{1}=10$ °C, $\vartheta_{2}=22$ °C, $p=10^{5}$ Pa, A = 94 m${}^{2}$, d = 30 cm, $\rho=2{,}4\,\mathrm{g/cm}{}^{3}$, $c_{\text{B}}=0{,}9\,\mathrm{kJ/kg\,K}$. Der zusätzliche ständige Wärmeabfluss an die Umgebung durch Wärmeleitung wird erst in Kap. 6 behandelt und bleibt hier außer Betracht.

4.5 Spezifische Wärme von Gasgemischen.

Geben Sie C _V für ein beliebiges Gemisch idealer Gase an und überzeugen Sie sich davon, dass Gleichung (4.41) auch in diesem Falle richtig ist.